El triángulo isósceles tiene dos lados iguales, que siempre se encuentran en el mismo ángulo con la base (el tercer lado) y directamente encima del centro. Para determinar si un objeto de este tipo es realmente isósceles, simplemente use una regla y dos lápices de igual longitud: si intenta inclinar la forma geométrica en cualquier dirección, las puntas de graffiti no se encontrarán. Debido a estas propiedades especiales, es posible calcular el área de un triángulo isósceles a partir de información básica.
pasos
Método 1 de 2: determinar el área a partir de la longitud de los lados
Paso 1. Piensa en el área del paralelogramo
Cualquier objeto que tenga dos pares de lados paralelos y un total de cuatro lados, como cuadrados y rectángulos, son paralelogramos. Todas las formas del tipo tienen la misma fórmula de área simple: base por altura, o A = b * h. Si el objeto se coloca sobre una superficie horizontal, la base corresponde a la longitud del lado sobre el que descansa. La altura, a su vez, es la distancia desde la base hasta la parte superior, alejándose de la superficie misma. Mida siempre este valor en ángulo recto (90 °) a la base.
Para cuadrados y rectángulos, la altura es igual a la longitud de uno de los lados verticales, ya que están en ángulo recto con la base
Paso 2. Compara el triángulo con el paralelogramo
La relación entre estas dos formas es simple: si se corta diagonalmente por la mitad, cualquier paralelogramo da lugar a dos triángulos iguales. Lo contrario también es cierto: cuando hay dos triángulos idénticos, se pueden unir para formar un paralelogramo. En este sentido, la fórmula para el área de cualquier triángulo es A = b * h / 2 - exactamente la mitad del tamaño de un paralelogramo correspondiente.
Paso 3. Determina el valor base del triángulo isósceles
Con la fórmula en la mano, es hora de pensar: ¿qué significan exactamente "base" y "altura" en relación con el triángulo? La base es fácil ya que corresponde a un solo lado de diferentes medidas de la forma.
- Por ejemplo: en un triángulo isósceles cuyos lados miden 5, 5 y 6 cm, la base es el lado de 6.
- Si el triángulo tiene lados iguales (equilátero), cualquiera de ellos puede ser la base. Los triángulos equiláteros son un tipo especial de isósceles, pero puedes usar la misma fórmula que el área.
Paso 4. Dibuja una línea entre la base y el vértice opuesto (el ángulo recto)
Determinará la altura del objeto; márquelo con la letra h. Después de calcular el valor de h, podrá determinar el área.
En el triángulo isósceles, esta línea siempre está en el medio exacto de la base
Paso 5. Examina una de las mitades del triángulo isósceles
Tenga en cuenta que la línea de altura ha dividido el objeto en dos triángulos rectángulos idénticos. Identifica los tres lados de uno de ellos:
- Uno de los lados más pequeños es igual a la mitad de la base: b2 { displaystyle { frac {b} {2}}}
- O outro lado menor equivale à altura (h).
- A hipotenusa do triângulo retângulo é um dos dois lados iguais do isósceles. Aqui, pode ser identificada como s.
Paso 6. Reúna el teorema de Pitágoras.
Siempre que tenga el valor de dos lados de un triángulo rectángulo, puede usar el teorema para determinar el tercero: (cateto / lado 1)2 + (cateto / lado 2)2 = (hipotenusa)2. Al colocar las variables de este problema en sus lugares adecuados, el recuento se ve así: (b2) 2 + h2 = s2 { displaystyle ({ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}}
- Você provavelmente viu o Teorema de Pitágoras na escola como a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
- (b2) 2 + h2 = s2 { displaystyle ({ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}}
h2=s2−(b2)2{displaystyle h^{2}=s^{2}-({frac {b}{2}})^{2}}
h=(s2−(b2)2){displaystyle h={sqrt {(}}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})}
- Por ejemplo: si tienes un triángulo isósceles con lados de 5, 5 y 6 cm, haz: b = 6 ys = 5.
-
Reemplácelos en la fórmula:
h = (s2− (b2) 2) { displaystyle h = { sqrt {(}} s ^ {2} - ({ frac {b} {2}}) ^ {2})}
h=(52−(62)2){displaystyle h={sqrt {(}}5^{2}-({frac {6}{2}})^{2})}
h=(25−32){displaystyle h={sqrt {(}}25-3^{2})}
h=(25−9){displaystyle h={sqrt {(}}25-9)}
h=(16){displaystyle h={sqrt {(}}16)}
h=4{displaystyle h=4}
cm.
- Aún en el ejemplo del triángulo de 5, 5 y 6 cm, la base sería de 6 cm y la altura sería de 4.
-
A = b * h / 2
H = (6 cm) * (4 cm) / 2
Alto = 12cm2.
- ¿Cuál es el área de un triángulo cuyos lados miden 8, 8 y 4 centímetros?
- Utilice el lado de diferente medida, 4 cm, como base (b).
- Altura h = 82− (42) 2 { displaystyle h = { sqrt {8 ^ {2} - ({ frac {4} {2}}) ^ {2}}}}
=64−4{displaystyle ={sqrt {64-4}}}
=60{displaystyle ={sqrt {60}}}
- Fatore a raiz quadrada para simplificá-la: h=60=4∗15=415=215.{displaystyle h={sqrt {60}}={sqrt {4*15}}={sqrt {4}}{sqrt {15}}=2{sqrt {15}}.}
- Área =12bh{displaystyle ={frac {1}{2}}bh}
- Deixe a resposta assim ou digite-a em uma calculadora para encontrar um valor decimal aproximado (cerca de 15, 49 centímetros quadrados).
- Los dos lados iguales tienen una longitud de 10 centímetros.
- El ángulo θ entre los dos lados iguales es 120 °.
- Cos (θ / 2) = h / s
- Cos (60 °) = h / 10
- H = 10cos (60 °)
- Sen (θ / 2) = x / s
- Sen (60 °) = x / 10
- X = 10sen (60 °)
-
A = b * h / 2
= (2x) * (10cos60 °) / 2
= (10sen60 °) * (10cos60 °)
= 100sen (60 °) cos (60 °)
- Alternativamente, pase los valores a una calculadora (en grados) para obtener la respuesta de 43.3 centímetros cuadrados o use propiedades trigonométricas para simplificar la expresión para A = 50sin (120 °).
- A = s2 * si
- S es la longitud de uno de dos lados iguales.
- θ es el ángulo entre dos lados iguales.
- Es más fácil determinar el área de un triángulo rectángulo isósceles (dos lados iguales y un ángulo de 90 °). Puede utilizar uno de los lados más pequeños como base y el otro como altura. Ahora la fórmula A = b * h / 2 se simplificará como s2 / 2, donde s es la longitud de uno de los lados cortos.
- Las raíces cuadradas tienen dos soluciones, una positiva y otra negativa. En geometría, puede ignorar la raíz negativa, ya que no hay ningún triángulo con "altura negativa", por ejemplo.
- Algunos problemas de trigonometría pueden dar otra información en el enunciado, como la longitud de la base y un ángulo (y el hecho de que el triángulo es isósceles). La estrategia básica es la misma: divide el triángulo isósceles en dos rectángulos y determina la altura usando funciones trigonométricas.
Paso 7. Determine el valor de h
Recuerda que la fórmula del área usa byh, pero aún no tienes el valor de h. Transfórmalo para encontrar la solución:
Paso 8. Ensamble la ecuación con los valores del triángulo para determinar h
Ahora que sabe qué fórmula usar, puede aplicarla a cualquier triángulo isósceles cuyos lados ya conozca. Simplemente coloque el valor base en lugar de by uno de los lados iguales en s.
Paso 9. Ensamble la ecuación del área con los valores de la base y la altura
Ahora tiene los datos necesarios para usar la fórmula presentada al principio de esta sección: área = b * h / 2. Simplemente ingrese los valores de byh para encontrar la respuesta, que debe estar en unidades cuadradas (metros, centímetros, etc.cuadrados).).
Paso 10. Intente determinar el área de un ejemplo más difícil
La mayoría de los problemas que involucran triángulos isósceles son más complicados que el ejemplo anterior. La altura generalmente se da en raíz cuadrada, por lo que no es posible simplificarla a un número entero. Si es así, al menos intente simplificar la raíz misma. Vea:
=12(4)(215){displaystyle ={frac {1}{2}}(4)(2{sqrt {15}})}
=415{displaystyle =4{sqrt {15}}}
Método 2 de 2: Usando propriedades trigonométricas
Paso 1. Comience con un lado y un ángulo
Si comprende la trigonometría, puede determinar el área del triángulo isósceles incluso si no tiene el valor de los lados. Vea el ejemplo a continuación:
Paso 2. Divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos
Dibuja una línea de vértice entre los lados igual a la base del ángulo recto para generar dos formas de la misma área.
Esta línea divide θ por la mitad. Cada mitad tiene un ángulo de θ / 2, en este caso 120/2 = 60 °
Paso 3. Usa propiedades trigonométricas para determinar el valor de h
Ahora que tiene un triángulo rectángulo, puede usar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. En el ejemplo, tenemos la hipotenusa y queremos encontrar el valor de h, el lado adyacente al ángulo cuya longitud ya conocemos. Usa el hecho de que coseno = ángulo / hipotenusa adyacente para encontrar la respuesta:
Paso 4. Encuentra el valor del lado restante
Todavía hay un valor por determinar, que se puede llamar x. Resuélvalo usando la definición seno = ángulo opuesto / hipotenusa:
Paso 5. Encuentra la relación entre x y la base del triángulo isósceles
Ahora puedes analizar la imagen completa. Su base total, b, es igual a 2 x, ya que se ha dividido en dos segmentos, cada uno de los cuales vale x.
Paso 6. Lleve los valores de byh a la fórmula básica del área
Ahora que tiene la base y la altura, puede usar A = b * h / 2.
Paso 7. Haz que la fórmula sea universal
Ahora que sabe cómo resolver el problema, puede utilizar la fórmula general sin pasar por todo el proceso de cada ejercicio. Si sigue estos Pasos sin usar valores específicos (y simplifica todo usando propiedades trigonométricas), obtendrá el siguiente resultado: