3 formas de factorizar trinomios

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos. Probablemente aprenderá a factorizar trinomios cuadráticos, que son trinomios escritos en la forma ax² + bx + c. Hay varios trucos que se pueden aplicar a diferentes tipos de trinomios cuadráticos, pero mejorará y será más rápido con la práctica. Polinomios de grados superiores, con términos como³ o x⁴, no siempre se puede resolver con los mismos métodos, pero a menudo se puede recurrir a la factorización simple o la sustitución de términos para convertirlos en problemas que se pueden resolver con cualquier fórmula cuadrática.

pasos

Método 1 de 3: Factorizar x² + bx + c

Paso 1. Aprenda la propiedad distributiva (también conocida como FOIL en inglés) , para multiplicar expresiones como (x + 2) (x + 4).

Antes de comenzar a factorizar, es bueno saber cómo funciona esto:

multiplicar el primero términos: (X+2)(X+4) = X² + __
Multiplica los términos de fuera de: (X+2) (x +

Paso 4.) = x²+ 4x + __
Multiplica los términos de dentro: (x +

Paso 2.)(X+4) = x²+ 4x + 2x + __
multiplicar el último términos: (x +

Paso 2.)(X

Paso 4.) = x²+ 4x + 2x

Paso 8.
Simplificar: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Paso 2. Comprender la factorización

Cuando multiplicas dos binomios usando el distributivo, terminas con un trinomio (una expresión de tres términos) de la forma a x²+ b x + c, donde "a", "b" y "c" son números comunes. Si comienza con una ecuación de la misma forma, puede volver a factorizarla en dos binomios.

Si la ecuación no está escrita en ese orden, mueva los términos a la posición adecuada. Por ejemplo, reescribir 3x - 10 + x² igual que X² + 3x - 10.
Como el mayor exponente es 2 (x², esta expresión se llama "cuadrática".

Paso 3. Reserve un espacio para la respuesta del método presentado

Por ahora solo escribe (__ __) (__ __) en el espacio dedicado a la respuesta. Completaremos estos campos en breve.

No coloque signos + o - entre términos en blanco todavía, ya que no sabemos cuál se utilizará

Paso 4. Complete los primeros términos

En problemas simples donde el primer término de su trinomio es solo x², los términos de la primera posición siempre serán X y X. Estos son los factores de x², porque x por x = x².

Nuestro ejemplo, x² + 3x - 10, comienza con x², entonces podemos escribir:
(x __) (x __)
Veremos problemas más elaborados en la siguiente sección, incluidos los trinomios que comienzan con un término como 6x²o -X². Por ahora, siga el problema del ejemplo.

Paso 5. Usa la factorización para adivinar los últimos términos

Si vuelve a leer el método utilizado inicialmente, verá que multiplicar los últimos términos da el término final en el polinomio (el que no tiene x). Entonces, para factorizar, necesitamos encontrar dos números que se multipliquen para formar el último término.

En nuestro ejemplo, x² + 3x - 10, el último término es -10.
¿Cuáles son los factores de -10? ¿Qué dos números multiplicados juntos forman -10?
Hay algunas posibilidades: -1 por 10, 1 vez -10, -2 por 5 o 2 por -5. Escriba estos pares en algún lugar para que no los olvide.
No cambie la respuesta todavía. Ella todavía se ve así: (x __) (x __).

Paso 6. Prueba qué posibilidades funcionan con la multiplicación exterior e interior

Hemos reducido los últimos términos a pocas posibilidades. Pruebe cada uno multiplicando los términos externos e internos, luego comparando el resultado con nuestro trinomio. Por ejemplo:

El término "x" de nuestro problema original es "3x", así que eso es lo que queremos obtener en la prueba.
Prueba -1 y 10: (x-1) (x + 10). Valor exterior + interior = 10x - x = 9x. No.
Prueba 1 y -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Esto no es correcto. De hecho, después de probar -1 y 10, sabrá que la respuesta 1 y -10 será exactamente lo opuesto al resultado anterior: -9x en lugar de 9x.
Prueba -2 y 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Esto coincide con el polinomio original, por lo que esta es la respuesta correcta: (x-2) (x + 5).
En casos simples como este, cuando no hay una constante delante de la x², puede usar un atajo: simplemente agregue los dos factores y coloque una "x" después de (-2 + 5 → 3x). Esto no funcionará con problemas más complicados, por lo que es bueno recordar la ruta completa descrita anteriormente.

Método 2 de 3: Factorizar trinomios más elaborados

Paso 1. Utilice la factorización simple para facilitar problemas más elaborados

Digamos que necesitas factorizar 3 veces² + 9x - 30. Busque un número que factorice los tres términos (su "máximo común divisor", o MDC). En este caso, son 3:

3 veces² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Entonces 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Podemos factorizar el nuevo trinomio siguiendo los pasos al principio de este artículo. La respuesta sera (3) (x-2) (x + 5).

Paso 2. Busque factores más elaborados

A veces, el factor puede involucrar variables, o es posible que deba factorizar varias veces hasta encontrar la expresión más simple posible. Aquí hay unos ejemplos:

2x²y + 14xy + 24y = (2 años)(X² + 7x + 12)
X⁴ + 11 veces³ - 26x² = (X²)(X² + 11x - 26)
-X² + 6x - 9 = (-1)(X² - 6x + 9)
No olvide factorizar el nuevo trinomio una vez más, siguiendo los pasos desde el principio. Verifique su respuesta y encuentre problemas de ejemplo similares cerca del final de este artículo.

Paso 3. Resuelve problemas con un número delante de la x².

Algunos trinomios cuadráticos no se pueden simplificar hasta que se llegue al tipo de problema más sencillo. Aprenda a resolver problemas como 3x² + 10x + 8 y luego practique usted mismo con los problemas de ejemplo al final de este artículo:

Reúna la respuesta: (__ __)(__ __)
Los primeros términos tienen una "x" cada uno y, cuando se multiplican, dan como resultado 3x². Aquí solo hay una opción posible: (3x __) (x __).
Enumere los factores de 8. Nuestras opciones son 1 por 8 o 2 por 4.
Pruébelos usando los términos afuera y adentro. Tenga en cuenta que el orden de los factores es importante, ya que el término exterior se multiplica por "3x", no por "x". Pruebe todas las posibilidades hasta que obtenga un resultado de afuera + dentro de 10x (de acuerdo con el problema original):
(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x No.
(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x No.
(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x No.
(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x sí, este es el factor correcto.

Paso 4. Utilice la sustitución de trinomios de grado superior

Tu libro de texto de matemáticas podría sorprenderte con una ecuación de alto x exponente⁴, incluso después de haber utilizado la factorización simple para aliviar el problema. Intente reemplazarla con una nueva variable que convierta la ecuación en algo que pueda resolver. Por ejemplo:

X⁵+ 13x³+ 36x
= (x) (x⁴+ 13x²+36)
Inventemos una nueva variable. Diremos que y = x² y haremos las sustituciones:
(x) (y²+ 13 años + 36)
= (x) (y + 9) (y + 4). Ahora vuelva a usar la variable original:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Método 3 de 3: Factorizar casos especiales

Paso 1. Busque números primos

Comprueba si la constante en el primer o tercer término del trinomio es un número primo. Un número primo solo se puede dividir en partes iguales por sí mismo y por 1, por lo que solo hay un par posible de factores binomiales.

Por ejemplo, en x² + 6x + 5, "5" es un número primo, por lo que el binomio debería verse así: (__ 5) (__ 1).
En 3x problema²+ 10x + 8, 3 es un número primo, por lo que el binomio debería verse así: (3x __) (x __).
Para el problema de 3x²+ 4x + 1, tanto "3" como "1" son números primos, por lo que la única solución posible es (3x + 1) (x + 1). (Aún debe realizar esta multiplicación para verificar su cálculo, ya que algunas expresiones no se pueden factorizar, por ejemplo, 3x2 + 100x + 1 no tiene factores).

Paso 2. Verifica que el trinomio sea un cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto se puede factorizar en dos binomios idénticos, y el factor generalmente se escribe como (x + 1)², en lugar de (x + 1) (x + 1). A continuación, se muestran algunos de los que suelen tener problemas:

X²+ 2x + 1 = (x + 1)²y x²-2x + 1 = (x-1)²
X²+ 4x + 4 = (x + 2)²y x²-4x + 4 = (x-2)²
X²+ 6x + 9 = (x + 3)²y x²-6x + 9 = (x-3)²
En un trinomio cuadrado perfecto en forma de x² + bx + c, los términos "a" y "c" son siempre cuadrados perfectos positivos (como 1, 4, 9, 16 o 25), y el término b (positivo o negativo) siempre es igual a 2 (√a * √c).

Paso 3. Compruebe si no hay solución

No todos los trinomios pueden factorizarse. Si está atascado en un trinomio cuadrático (ax²+ bx + c), usa la fórmula cuadrática para encontrar el resultado. Si las únicas respuestas son la raíz cuadrada de un número negativo, entonces no hay una solución real, por lo que no hay factores.

Para trinomios no cuadráticos, utilice el criterio de Eisenstein, que se describe en la sección de sugerencias

Respuestas y ejemplos de problemas

Respuestas a los problemas de factorización más elaborados.

Estos son los problemas con la parte sobre trinomios "más elaborados". Ya los hemos simplificado, haciéndolos un problema más fácil. Ahora intente resolverlos siguiendo los pasos desde el principio, luego verifique sus cálculos aquí:
- (2 años) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
- (X²)(X² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
- (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Intente resolver problemas de factorización más complejos.

Estos problemas tienen un factor común en cada término que debe tenerse en cuenta primero. Resalte el espacio después de los signos iguales para ver la respuesta y verifique sus cálculos aquí:
- 3 veces³+ 3 veces²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) ← resalta este espacio para ver tu respuesta
- -5x³y²+ 30x²y²-25 años²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Practica con problemas difíciles.

Estos problemas no se pueden factorizar en ecuaciones más fáciles, por lo que deberá elaborar una respuesta en forma de (_x + __) (_ x + __) probando:
- 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← resaltar para ver la respuesta
- 9 veces²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Sugerencia: es posible que deba probar más de un par de factores para 9x).
Consejos
- Si no sabe cómo factorizar un trinomio cuadrático (ax²+ bx + c), puede usar la fórmula cuadrática para encontrar el valor de x.
- Aunque no necesita saber cómo hacer esto, puede usar el criterio de Eisenstein para determinar rápidamente si un polinomio es irreducible y no se puede factorizar. Este criterio se aplica a cualquier polinomio, pero funciona particularmente bien con trinomios. Si hay un número primo "p" que divide los dos últimos términos por igual y satisface las siguientes condiciones, entonces el polinomio es irreducible:
  - El término constante (sin variable) es un múltiplo de p, pero no p.².
  - El término principal (por ejemplo, "a" en ax²+ bx + c) no es múltiplo de p.
  - Por ejemplo, 14x² + 45x + 51 es irreductible, ya que hay un número primo (3) que divide 45 y 51 por igual, pero no 14, y 51 no se puede dividir igualmente por 3².
Avisos
- Si bien esto es cierto para las ecuaciones cuadráticas, los trinomios factorizables no son necesariamente el producto de dos binomios. Por ejemplo: x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).

Tabla de contenido: