Este es un artículo sobre cómo factorizar un polinomio de tercer grado. Explorará cómo factorizar a través de la agrupación, así como el uso del término libre.
pasos
Parte 1 de 2: Factorizar agrupando
Paso 1. Agrupa el polinomio en dos partes
Agrupar el polinomio en dos partes nos permite abordar cada sección de forma individual.
- Digamos que estamos trabajando con el polinomio x3 + 3 veces2 - 6x - 18 = 0. Agrupémoslo en (x3 + 3 veces2) y (-6x - 18)
Paso 2. Descubra qué es común a cada parte
- Mirando (x3 + 3 veces2), podemos ver que x2 es comun.
- Mirando (-6x - 18), podemos ver que -6 es común.
Paso 3. Factoriza los comunes de los dos términos
- factorizar x2 de la primera sección tenemos x2(x + 3).
- Factorizando el -6 en la segunda sección, obtenemos -6 (x + 3).
Paso 4. Si cada uno de los términos tiene el mismo factor, podemos combinarlos
- Esto nos da (x + 3) (x2 - 6).
Paso 5. Encuentra la solución observando las raíces
si tienes x2 en la raíz, recuerde que tanto los números negativos como los positivos llenan esta ecuación.
Las soluciones son 3 y √6
Parte 2 de 2: Factorización a plazo libre
Paso 1. Reorganiza la expresión para que tenga la forma de aX3+ bX2+ cX+ d.
- Digamos que estamos trabajando con la siguiente ecuación: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Paso 2. Encuentra todos los factores de "d"
La constante "d" será el número que no tiene ninguna variable, como la "x" al lado.
Los factores son números que puedes multiplicar para obtener otro número. En nuestro caso, los factores de 10, o "d", son: 1, 2, 5 y 10
Paso 3. Encuentra un factor que iguale al polinomio con cero
Queremos determinar qué factor hace que el polinomio sea igual a cero cuando sustituimos el factor por cada "x" en la ecuación.
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Comencemos usando nuestro primer factor, 1. Reemplacemos el "1" con cada "x" en la ecuación:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
- Esto nos da: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Dado que 0 = 0 es cierto, sabemos que x = 1 es una solución.
Paso 4. Realice un pequeño reajuste
Si x = 1, podemos reajustar la ecuación para que se vea un poco diferente sin cambiar su resultado.
"x = 1" es lo mismo que "x - 1 = 0" o "(x - 1)". Simplemente restamos "1" de cada lado de la ecuación
Paso 5. Factoriza el término en el resto de la ecuación
"(x - 1)" es su término. Veamos si podemos factorizarlo del resto de la ecuación. Vamos de un polinomio a la vez.
- Podemos factorizar (x - 1) de x3? No podemos. Pero podemos pedir prestado un -x2 la segunda variable; entonces podemos factorizarlo: x2(x - 1) = x3 - X2.
- ¿Podemos factorizar (x - 1) lo que queda de nuestra segunda variable? No, de nuevo, no podemos. Necesitamos tomar prestado un poco de la tercera variable. Necesitamos pedir prestado un 3x de -7x. Esto nos da -3x (x - 1) = -3x2 + 3x.
- Como hemos tomado 3x de -7x, nuestra tercera variable ahora es -10x y nuestra constante es 10. ¿Podemos factorizar eso? ¡Podemos! -10 (x - 1) = -10x + 10.
- Lo que hicimos fue reorganizar las variables para poder factorizar (x - 1) en la ecuación. Nuestra ecuación reordenada debería verse así: x3 - X2 - 3 veces2 + 3x - 10x + 10 = 0, pero sigue siendo lo mismo que x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Paso 6. Continúe reemplazando factores con el término libre
Mire los números que factorizamos usando (x - 1) en el Paso 5:
- X2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Podemos reorganizar esto para que sea mucho más fácil hacer la factorización nuevamente: (x - 1) (x2 - 3x - 10) = 0.
- Solo estamos tratando de factorizar (x2 - 3x - 10) aquí. Esto da como resultado (x + 2) (x - 5).
Paso 7. Su solución será su término factorizado
Puede ver si sus soluciones realmente funcionan volviendo a colocar cada una de ellas individualmente en la ecuación original.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0 Esto nos da la solución de 1, -2 y 5.
- Vuelve a poner el -2 en la ecuación: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Vuelva a poner el 5 en la ecuación: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Consejos
- El polinomio de tercer grado es el producto de tres polinomios de primer grado o el producto de un polinomio de primer grado y un polinomio de segundo grado que no se puede factorizar. En el último caso, usamos la división larga después de encontrar el polinomio de primer grado para encontrar el polinomio de segundo grado.
- No hay polinomios de tercer grado dentro de números reales que no se puedan factorizar, porque cada polinomio cúbico debe tener un término real. Los cúbicos como x ^ 3 + x + 1 que tienen un número irracional no se pueden factorizar en polinomios con un coeficiente entero o racional. Aunque se puede factorizar con la fórmula cúbica, es irreducible como polinomio entero.