La exponenciación (o potenciación) es la operación que se utiliza para simplificar la multiplicación de un número por sí mismo. Por ejemplo, en lugar de escribir 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 { displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4}
, podemos usar apenas 45{displaystyle 4^{5}}
), clique aqui.
Todo el poder, como 23 { displaystyle 2 ^ {3}}
, apresenta duas partes. O número inferior (2 nesse exemplo) é chamado de base. O número sobrescrito à direita (3 nesse exemplo) é chamado de expoente ou potência. Podemos ler a potência 23{displaystyle 2^{3}}
como dois elevado a três ou dois elevado à terceira potência.
, dizemos que ele está elevado ao quadrado (no exemplo, lemos cinco ao quadrado).
, dizemos que ele está elevado ao cubo (no exemplo, lemos dez ao cubo).
ou (3/8)0=1.{displaystyle (3/8)^{0}=1.}
Si necesita calcular el valor de una potencia a mano, primero vuelva a escribirlo como un problema de multiplicación. La base debe multiplicarse a sí misma un número de veces igual al exponente. Entonces, para calcular el valor de 34 { displaystyle 3 ^ {4}}
, você deverá multiplicar a base três por si mesma quatro vezes seguidas, ou seja, 3∗3∗3∗3{displaystyle 3*3*3*3}
. Observe mais alguns exemplos:
Multiplica los dos primeros números para obtener el resultado del producto. Por ejemplo, para calcular 45 { displaystyle 4 ^ {5}}
, você começaria com 4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4*4*4*4*4}
. Essa expressão pode parecer assustadora, porém tudo o que você precisa para poder resolvê-la é dar um passo por vez. Primeiramente, multiplique os dois primeiros quatros. Em seguida, substitua esses dois quatros pelo resultado da multiplicação, como mostra a resolução abaixo:
Siga multiplicando los números para hacer que el poder "crezca". Volviendo a nuestro ejemplo, el siguiente paso sería multiplicar el 16 por el siguiente 4, como se muestra en la siguiente resolución:
Paso 6. Usa el botón "exp", "xn { displaystyle x ^ {n}}"
Si las bases y los exponentes de potencia son iguales, como 45 + 45 { displaystyle 4 ^ {5} + 4 ^ {5}}
, podemos simplificar os termos da adição e transformá-la em uma simples multiplicação. É importante lembrar que 45{displaystyle 4^{5}}
é o mesmo que 1∗45{displaystyle 1*4^{5}}
, de tal forma que 45+45=1∗45+1∗45=2∗45{displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}}
. Observe mais alguns exemplos:
Multiplicando dos potencias de la misma base, como x2 ∗ x5 { displaystyle x ^ {2} * x ^ {5}}
, podemos simplificá-la repetindo a base e somando os dois expoentes. Assim, concluímos que x2∗x5=x7{displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}
. Se esse raciocínio estiver confuso, basta decompor os termos da multiplicação para entender como ele funciona:
Paso 3. Al elevar una potencia a otro exponente, como (x2) 5 { displaystyle (x ^ {2}) ^ {5}}
, multiplique os expoentes.
Uma potência elevada a outro expoente é igual a base dessa potência elevada ao produto dos dois expoentes. Assim, concluímos que (x2)5=x2∗5=x10{displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}}
. Se achar o raciocínio confuso, basta analisar o que os símbolos realmente significam. A expressão (x2)5{displaystyle (x^{2})^{5}}
representa que a potência (x2){displaystyle (x^{2})}
está multiplicando si mesma 5 vezes, como podemos ver abaixo:
No es necesario que sepas qué son los números recíprocos. Cualquier número elevado a un exponente negativo, como 3−2 { displaystyle 3 ^ {-} 2}
, é igual ao inverso desse número elevado ao mesmo expoente, porém com sinal oposto. Assim, concluímos que nosso exemplo pode ser reescrito como a fração 132{displaystyle {frac {1}{3^{2}}}}
. Observe mais alguns exemplos:
La división es la inversa de la multiplicación, y aunque estas dos operaciones no siempre se resuelven de forma contraria, en este caso lo serán. La división de dos potencias de bases iguales, como 4442 { displaystyle { frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}}
, é igual a base elevada à diferença do expoente de cima pelo expoente de baixo. Assim, concluímos que 4442=44−2=42{displaystyle {frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}}
, ou simplesmente
, pode ser reescrita como 4−2{displaystyle 4^{-2}}
. Expoentes negativos criam frações.
Los problemas siguientes cubren todas las operaciones mostradas hasta ahora. Para ver la respuesta, simplemente resalte la línea del problema con el cursor del mouse.
= 125
= 12
= -x^12
= y4{displaystyle y^{4}}
Lembre-se: todo número que não apresenta potência possui expoente 1
= Q15{displaystyle Q^{1}5}
= r3{displaystyle r^{3}}
Paso 1. Transforma una potencia con un exponente fraccionario, como x12 { displaystyle x ^ { frac {1} {2}}}
, em uma raiz.
A potência x12{displaystyle x^{frac {1}{2}}}
equivale exatamente à raiz x{displaystyle {sqrt {x}}}
. Isso funciona da mesma forma para qualquer expoente fracionário, não importa o denominador da fração; assim, x14{displaystyle x^{frac {1}{4}}}
seria o mesmo que a raiz quarta de x, ou seja, x4{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}}
à quarta potência, o resultado seria simplesmente x{displaystyle x}
. Assim, 164=2{displaystyle {sqrt[{4}]{16}}=2}
será o mesmo que 24=16{displaystyle 2^{4}=16}
. Outro exemplo: se x4=2{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}=2}
, então 24=x{displaystyle 2^{4}=x}
. Portanto, x=2{displaystyle x=2}
La potencia x53 { displaystyle x ^ { frac {5} {3}}}
pode parecer mais complicada, mas basta lembrar de como multiplicar expoentes de potências. Transforme a base da potência no radicando da raiz (como uma fração normal) e o numerador da fração no expoente da raiz. Se sentir dificuldade para memorizar isso, você só precisa lembrar que 53{displaystyle {frac {5}{3}}}
é exatamente o mesmo que (13)∗5{displaystyle ({frac {1}{3}})*5}
. Por exemplo:
= (x3)5{displaystyle ({sqrt[{3}]{x}})^{5}}
Es mucho más sencillo sumar y restar potencias antes de calcularlas o convertirlas en raíces. Si las bases y los exponentes de potencia son iguales, puede sumarlos y restarlos normalmente. Si las bases de las potencias son iguales, también puedes multiplicarlas y dividirlas normalmente, siempre que sepas sumar y restar fracciones. Mira los ejemplos:
Ya has visto cómo una potencia de exponente fraccionario se puede transformar simplemente en una raíz. Sin embargo, es importante tener en cuenta que este proceso también se puede revertir. Toma la expresión x5 + x75 { displaystyle { sqrt [{5}] {x}} + x ^ { frac {7} {5}}}
. À primeira vista, parece impossível resolver o problema; contudo, a raiz no primeiro termo pode ser facilmente convertida em uma fração, permitindo que você resolva o problema da seguinte maneira:
