Cómo encontrar la ecuación de una recta tangente a la curva

A diferencia de una línea recta, la pendiente de una curva cambia constantemente a medida que se mueve a lo largo del gráfico. Cálculo presenta a los estudiantes el concepto de que cada punto de este gráfico puede describirse como una pendiente o una "tasa instantánea de cambio". La línea tangente es una línea recta relativa a esa pendiente que pasa por el mismo punto en la gráfica. Para averiguar cuál es la ecuación tangente, necesitará saber cómo extraer la derivada de la ecuación original.

pasos

Método 1 de 2: encontrar la ecuación de una tangente

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 1

Paso 1. Dibuje la función y la tangente (recomendado)

El cuadro le ayuda a rastrear el problema y ver si la respuesta tiene sentido. Dibuja la función en una hoja de papel cuadriculado, usando una calculadora gráfica si es necesario. Dibuja la tangente que pasa por el punto dado (recuerda que pasa por ese punto y tiene la misma pendiente que la gráfica de allí).

Ejemplo 1:

Dibuja la gráfica de la parábola f (x) = 0, 5x2 + 3x − 1 { displaystyle f (x) = 0, 5x ^ {2} + 3x-1}

. Desenhe a tangente que passa pelo ponto (-6, 1).

Você ainda não conhece a equação da tangente, mas pode observar que o declive é negativo e que sua intercepção y é também negativa (bem abaixo do vértice da parábola, com valor y = -5, 5). Se a sua resposta final não for igual a esses detalhes, você poderá conferir os cálculos em busca de erros.

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 2

Paso 2. Obtenga la derivada de primer orden para encontrar la ecuación de la pendiente de la tangente

Para la función f (x), la primera derivada f '(x) representa la ecuación de la pendiente de la tangente en cualquier punto de f (x). Hay muchas formas de derivar. Aquí hay un ejemplo simple usando la regla de potencia:

Ejemplo 1 (cont.):

el gráfico se describe mediante la función f (x) = 0, 5x2 + 3x − 1 { displaystyle f (x) = 0, 5x ^ {2} + 3x-1}

Lembre-se da regra das potências ao fazer derivadas: ddxxn=nxn−1{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}

A primeira derivada da função será igual a f'(x) = (2)(0, 5)x + 3 - 0.

f'(x) = x + 3. Insira qualquer valor “a” para o x dessa equação e o resultado será igual ao declive da tangente de f(x) no ponto em que x = a.

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 3

Paso 3. Ingrese el valor x del punto a investigar

Lee el problema para encontrar las coordenadas del punto cuya tangente quieres encontrar. Ingrese la coordenada x de este punto en f '(x). El resultado será la pendiente de la tangente en ese punto.

Ejemplo 1 (cont.):

el punto mencionado en el problema es (-6, -1). Use la coordenada x = -6 como el valor de la variable independiente en f '(x):

f '(- 6) = -6 + 3 = -3

La pendiente de la tangente es igual a -3.

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 4

Paso 4. Escribe la ecuación de la tangente en forma fundamental

La forma fundamental de una ecuación lineal está representada por y − y1 = m (x − x1) { displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1})}

, onde m representa o declive (coeficiente angular da reta) e (x1, y1){displaystyle (x_{1}, y_{1})}

representa um ponto da reta. Agora, você tem toda a informação necessária para escrever a equação da tangente nessa forma.

Exemplo 1 (cont.):

y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}

O coeficiente angular da reta é igual a -3 e, por isso, y−y1=−3(x−x1){displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}

A tangente passa pelo ponto (-6, -1), de modo que a equação final pode ser representada por y−(−1)=−3(x−(−6)){displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))}

Simplifique-a para y+1=−3x−18{displaystyle y+1=-3x-18}

y=−3x−19{displaystyle y=-3x-19}

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 5

Paso 5. Confirma la ecuación en tu gráfica

Si tiene una calculadora gráfica, ensamble la función original y la tangente para verificar que el resultado sea correcto. Si está trabajando en papel, vuelva al cuadro anterior para asegurarse de que no haya errores en la respuesta.

Ejemplo 1 (cont.):

el boceto inicial reveló que la pendiente de la tangente era negativa, y la intersección con el eje y estaba muy por debajo de -5. 5. La ecuación de la tangente que encontramos está representada por y = -3x - 19 en forma fundamental, lo que indica que -3 representa la pendiente y -19, la intersección con el eje y. Ambos atributos son los mismos que los de las predicciones iniciales.

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 6

Paso 6. Intente resolver un problema más difícil

He aquí un seguimiento de todo el proceso una vez más. Ahora, el objetivo es encontrar la tangente de f (x) = x3 + 2x2 + 5x + 1 { displaystyle f (x) = x ^ {3} + 2x ^ {2} + 5x + 1}

em x = 2:

Com a regra das potências, a derivada primeira será igual a f′(x)=3x2+4x+5{displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5}

. Essa função nos mostrará qual é o declive da tangente.

Uma vez que x = 2, encontre f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25}

. Esse é o declive da função quando x = 2.

Observe que não temos o valor do ponto nesse momento, mas apenas uma coordenada x. Para descobrir qual é a coordenada y, insira x = 2 na função inicial: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27}

. O ponto será (2, 27).

Escreva a equação da tangente na forma fundamental: y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}

y−27=25(x−2){displaystyle y-27=25(x-2)}

Se necessário, simplifique-a para y = 25x - 23.

Método 2 de 2: Solucionando problemas relacionados

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 7

Paso 1. Encuentra los puntos extremos de una gráfica

Estos son los puntos en los que el gráfico alcanza un máximo local (punto más alto que los puntos en cualquier lado) o un mínimo local (más bajo que todos los puntos en cualquier lado). La tangente siempre tendrá una pendiente igual a 0 en estos puntos (línea horizontal), lo que no necesariamente indica un punto extremo. Aprenda cómo encontrarlos aquí:

Encuentre la primera derivada de la función para obtener f '(x), la ecuación para la pendiente de la tangente.
Resuelva f '(x) = 0 para encontrar posibles puntos extremos.
Toma la segunda derivada para obtener f '' (x), la ecuación que te dice qué tan rápido cambia la pendiente de la tangente.
Para cada posible punto extremo, ingrese la coordenada x = a en f '' (a). Si el valor de f '' (a) es positivo, hay un mínimo local en a. Si el valor de f '' (a) es negativo, es un máximo local. Si el valor de f '' (a) es igual a 0, hay un punto de inflexión, no un punto extremo.
Si hay un máximo o un mínimo en a, encuentre el valor de f '' (a) para saber cuál es la coordenada y.

Hallar la ecuación de una recta tangente Paso 8

Paso 2. Encuentra la ecuación normal

La "normal" de una pendiente en un punto particular pasa por ese punto, pero tiene una pendiente perpendicular a una tangente. Para encontrar la ecuación de la normal, aproveche el hecho de que el producto (pendiente de la tangente). (Pendiente de la normal) = -1, cuando ambos pasan por el mismo punto de la gráfica. En otras palabras:

Encuentre f '(x), la pendiente de la tangente.
Si el punto está en x = a, encuentre f '(a) para encontrar la pendiente de la tangente en esa ubicación.
Calcula −1f ′ (a) { displaystyle { frac {-1} {f '(a)}}}

para encontrar o declive da normal.
escreva a equação normal na forma fundamental.