5 formas de hacer fracciones equivalentes

Dos fracciones se consideran equivalentes cuando tienen el mismo valor. Saber cómo convertir una fracción en un equivalente es una habilidad matemática esencial que se usa desde el álgebra básica hasta el cálculo avanzado. Este artículo cubrirá varias formas de calcular fracciones equivalentes, desde la multiplicación y división básicas hasta métodos más complejos para resolver problemas.

pasos

Método 1 de 5: formación de fracciones equivalentes

Paso 1. Multiplica el numerador y el denominador por el mismo número

Dos fracciones diferentes pero equivalentes tienen, por definición, numeradores y denominadores que son múltiplos de cada uno. En otras palabras, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número producirá una fracción equivalente. Aunque los números de la nueva fracción son diferentes, las fracciones tendrán el mismo valor.

• Por ejemplo, si tomamos la fracción 4/8 y multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 2, obtenemos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Estas dos fracciones son equivalentes.
• (4 × 2) / (8 × 2) es esencialmente igual a 4/8 × 2/2. Recuerda que al multiplicar dos fracciones, multiplicamos en forma cruzada, es decir, numerador a numerador y denominador a denominador.
• Tenga en cuenta que 2/2 es igual a 1 cuando se realiza la división. Entonces, es fácil ver por qué 4/8 y 8/16 son equivalentes, ya que multiplicar 4/8 × (2/2) = 4/8. Lo mismo puede decirse de 4/8 = 8/16.
• Cualquier fracción tiene un número infinito de fracciones equivalentes. Puedes multiplicar el numerador y el denominador por cualquier número entero, sin importar cuán grande o pequeño sea, para obtener una fracción equivalente.

Paso 2. Divide el numerador y el denominador por el mismo número

Al igual que en la multiplicación, la división también se puede utilizar para encontrar una nueva fracción equivalente a la fracción inicial. Simplemente divide el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número para obtener una fracción equivalente. Hay un punto en este proceso: la fracción resultante debe tener números enteros tanto en el numerador como en el denominador para que se considere válida.

Por ejemplo, veamos nuevamente la fracción 4/8. Si, en lugar de multiplicar, dividimos tanto el numerador como el denominador por 2, obtenemos (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. Tanto el 2 como el 4 son números enteros, por lo que esta fracción equivalente es válida

Método 2 de 5: uso de la multiplicación básica para determinar la equivalencia

Paso 1. Encuentra el número por el cual se debe multiplicar el denominador más pequeño para generar el denominador más grande

Muchos problemas relacionados con fracciones implican determinar si dos fracciones son equivalentes. Al calcular este número, puede comenzar a poner ambas fracciones en términos iguales para determinar la equivalencia.

• Por ejemplo, vuelva a tomar las fracciones 4/8 y 8/16. El denominador más pequeño, 8, y tendríamos que multiplicar ese número por 2 para convertirlo en el más grande, que es 16. Entonces, el número en este caso es 2.
• Para números más difíciles, es posible simplemente dividir el denominador más grande por el más pequeño. En este caso, 16 se dividirá entre 8, lo que da como resultado 2.
• Es posible que el número no siempre sea un número entero. Por ejemplo, si los denominadores fueran 2 y 7, el número en cuestión sería 3, 5.

Paso 2. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción expresada en términos más pequeños por el número del primer paso

Dos fracciones diferentes pero equivalentes tienen, por definición, numeradores y denominadores múltiples entre sí. En otras palabras, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número producirá una fracción equivalente. Aunque los números de esta nueva fracción serán diferentes, las fracciones tendrán el mismo valor.

• Por ejemplo, si tomamos la fracción 4/8 del primer paso y multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el número 2, determinado anteriormente, tenemos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16 - demostrando así que ambas fracciones son equivalentes.

Método 3 de 5: Uso de la división básica para determinar la equivalencia

Paso 1. Calcula cada fracción como un número decimal

En el caso de fracciones simples sin variables, básicamente puedes expresar cada fracción como un número decimal para determinar la equivalencia. Dado que cada fracción es realmente un problema de división desde el principio, esta es la forma más sencilla de determinar la equivalencia.

• Por ejemplo, tome el 4/8 ya usado. La fracción 4/8 equivale a calcular 4 dividido por 8, es decir, 4/8 = 0.5. También puedes resolver el otro ejemplo, es decir, 8/16 = 0.5. Fracción son equivalentes si ambos números son exactamente el lo mismo cuando se expresa en forma decimal.
• Recuerde que la expresión decimal puede durar varios dígitos antes de que la discrepancia sea evidente. Como ejemplo básico, 1/3 = 0, 333, mientras que 3/10 = 0, 3. Cuando usa más de un dígito, puede ver que las dos ecuaciones no son equivalentes.

Paso 2. Divide el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número para obtener una fracción equivalente

En el caso de fracciones más complejas, el método de división requiere pasos adicionales. Al igual que con el método de multiplicación, es posible dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número para obtener una fracción equivalente. Hay un secreto en este proceso. La fracción resultante debe tener números enteros tanto en el numerador como en el denominador para ser válida.

• Por ejemplo, veamos nuevamente la fracción 4/8. Si, en lugar de multiplicarlos, dividimos el numerador y el denominador por 2, tenemos (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 y 4 son ambos números enteros, por lo que esta fracción equivalente es válida.

Paso 3. Reducir las fracciones a sus términos mínimos

La mayoría de las fracciones normalmente deben expresarse en sus términos mínimos, y será posible convertirlas a estos términos mínimos dividiéndolas por su máximo factor común (MFC). Este paso opera usando la misma lógica para expresar fracciones equivalentes convirtiéndolas para que tengan el mismo denominador, pero este método busca reducir cada fracción a sus términos mínimos expresables.

• Cuando una fracción está en sus términos más simples, su numerador y denominador son tan pequeños como pueden ser, y tampoco pueden dividirse por ningún número entero para obtener un número más pequeño. Para convertir una fracción que no está en sus términos más simples en una que sí lo está, dividimos el numerador y el denominador por su mayor factor común.
• El máximo factor común (MFC) del numerador y denominador es igual al mayor número que los divide a ambos para obtener un resultado entero. Así, en nuestra copia 4/8, desde

  Paso 4. es el número más grande que divide tanto a 4 como a 8, dividiremos el numerador y el denominador de nuestra fracción por 4 para obtener sus términos más simples: (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. En el otro ejemplo, 8/16, el MFC es 8, por lo que también llegamos al resultado 1/2 como la expresión más simple de la fracción.

Método 4 de 5: uso de la multiplicación cruzada para resolver una variable

Paso 1. Empareja las dos fracciones

Usamos la multiplicación cruzada en problemas matemáticos que sabemos que son equivalentes, pero donde uno de los números en uno de ellos ha sido reemplazado por una variable (generalmente x) que debe resolverse. En casos como este, sabemos que las fracciones son equivalentes porque son los únicos términos en lados opuestos del signo igual, pero esta resolución no siempre es obvia. Afortunadamente, en la multiplicación cruzada, resolver estos problemas es fácil.

Paso 2. Toma ambas fracciones equivalentes y multiplícalas en forma de cruz, en forma de “X”

En otras palabras, se debe multiplicar el numerador de una fracción por el denominador de la otra y viceversa, luego encontrar estas dos respuestas iguales entre sí y resolver el problema.

Tomemos los dos ejemplos 4/8 y 8/16. No contienen una variable, pero es posible probar el concepto ya que sabemos que son equivalentes. Por multiplicación cruzada, tenemos que 4 × 16 = 9 × 9, o 64 = 64, lo cual es indiscutiblemente cierto. Si los dos números no son idénticos, las fracciones no son equivalentes

Paso 3. Ingrese una variable

Dado que la multiplicación cruzada es la forma más fácil de determinar fracciones equivalentes al resolver una variable, introduzcamos una incógnita.

• Por ejemplo, considere la ecuación 2 / x = 10/13. Para multiplicar de forma cruzada, multiplicaremos 2 por 13 y 10 por x, luego igualaremos las respuestas entre sí:
  • 2×13 = 26
  • 10 x x = 10 x
  • 10 veces = 26
    • A partir de aquí, obtener una respuesta a nuestra variable es una cuestión de álgebra simple. X = 26/10 = 2, 6, definiendo las fracciones equivalentes iniciales como 2/2, 6 = 10/13.

Paso 4. Use la multiplicación cruzada en ecuaciones con múltiples variables o expresiones con incógnitas

Una de las mejores cosas de la multiplicación cruzada es el hecho de que funciona esencialmente de la misma manera ya sea que se trate de dos fracciones simples (como se muestra arriba) o de fracciones más complejas. Por ejemplo, si ambas fracciones contienen variables, solo deben eliminarse al final del proceso de resolución. De manera similar, si los numeradores o denominadores de fracciones contienen expresiones con variables (como x + 1), simplemente "multiplica" a través de la propiedad distributiva y resuélvelas normalmente.

• Por ejemplo, considere la ecuación [(x + 3) / 2] = [(x + 1) / 4)]. En este caso, como antes, lo resolveremos con multiplicación cruzada:
  • (x + 3) × 4 = 4x + 12
  • (x + 1) × 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12

    Simplificaremos la ecuación restando 2x de ambos lados

  • 2 = 2x + 12

    Aquí, aislaremos la variable restando 12 de ambos lados

  • -10 = 2x

    Dividiremos ambos números por 2 para desentrañar x

  • - 5 = x

Método 5 de 5: Usar la fórmula cuadrática para resolver variables

Paso 1. Multiplica las dos fracciones en forma de cruz

En los problemas de equivalencia que requieren la fórmula cuadrática, todavía comenzaremos con la multiplicación cruzada. Sin embargo, cualquier multiplicación que implique multiplicar términos variables por otros términos variables probablemente resultará en una expresión que no se resolverá fácilmente con álgebra pura. En casos como este, puede ser necesario utilizar técnicas como la factorización y fórmulas cuadráticas.

• Por ejemplo, veamos la ecuación [(x + 1) / 3] = [4 / (2x-2)]. Inicialmente, realizaremos una multiplicación cruzada:
  • (x + 1) × (2x-2) = 2x²+ 2x-2x-2 = 2x²-2
  • 4×3 = 12
  • 2x²-2 = 12

Paso 2. Exprese la ecuación como una ecuación cuadrática

En este punto, queremos expresar esta ecuación en forma cuadrática (ax²+ bx + c = 0), que se puede hacer poniéndolo a cero. En este caso, restaremos 12 de ambos lados para obtener 2x²-14 = 0.

• Algunos valores pueden ser iguales a 0. Aunque 2x²-14 = 0 es la forma más simple de la ecuación, la verdadera ecuación cuadrática está representada por 2x²+ 0x + (- 14) = 0. Es útil observar la forma cuadrática de una ecuación incluso cuando algunos de sus valores son iguales a 0.

Paso 3. Resuélvalo ingresando los números de su ecuación en la fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática x = [-b ± √ (b²-4ac)] / 2a nos ayudará a calcular el valor de x. No se deje intimidar por el tamaño de la fórmula. Simplemente está tomando los valores de la ecuación cuadrática del paso dos e ingresándolos en los puntos apropiados antes de resolverla.

• [x = (-b ± √ (b)²-4ac)] / 2a
  • En nuestra ecuación, 2x²-14 = 0, a = 2, b = 0 y c = -14.
• x = [-0 ± √ (0²-4(2)(-14))]/2(2)
• x = [± √ (0 - (- 112))] / 2 (2)
• x = [± 112] / 2 (2)
• x = ± 10, 58/4
• x = ±2, 64

Paso 4. Verifique la respuesta ingresando el valor x nuevamente en la ecuación cuadrática

Al ingresar el valor calculado en la ecuación cuadrática del paso dos, puede determinar fácilmente si ha llegado a la respuesta correcta. En este ejemplo, colocará 2, 64 y -2, 64 en la ecuación cuadrática.

Consejos

• Convertir fracciones a una forma equivalente es una forma de multiplicarlas por 1. Al convertir 1/2 en 2/4, multiplicar el numerador y el denominador por 2 es lo mismo que multiplicar 1/2 por 2/2, lo que da como resultado 1.
• Si lo prefiere, convierta números mixtos en fracciones inapropiadas para facilitar la conversión. Obviamente, no todas las fracciones serán tan simples de convertir como el ejemplo 4/8 anterior. Por ejemplo, los números mixtos (como 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) pueden complicar un poco el proceso de conversión. Si necesitas convertir un número mixto en una fracción equivalente, puedes hacerlo de dos formas: transformando el número mixto en una fracción impropia y convirtiéndolo normalmente. o manteniendo el número mixto y obteniendo un número mixto en respuesta.
  • Para convertirlo en una fracción impropia, multiplique el componente entero por el denominador del componente fraccionario, sumándolo al numerador. Por ejemplo, 1 2/3 = [(1 × 3) +2] / 3 = 5/3. Luego, si lo prefiere, puede convertirlo libremente. Por ejemplo, 5 / x × 2/2 = 10/6, que es equivalente a 1 2/3.
  • Sin embargo, no es necesario convertirlo en una fracción impropia como se describe arriba. Si no lo hacemos, ignoraremos el componente entero, convertiremos el componente fraccionario aislado y luego agregaremos el componente entero sin cambios. Por ejemplo, en el caso de 3 4/16, solo veremos 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Entonces, cuando agregamos el componente entero, tenemos un nuevo número mixto, o 3 1/4.

Avisos

• La multiplicación y la división funcionan obteniendo fracciones equivalentes porque multiplicar y dividir por formas fraccionarias del número 1 (2/2, 3/3, etc.) dan como resultado, por definición, respuestas equivalentes a la fracción inicial. La suma y la resta no permiten esta posibilidad.
• Aunque multiplica numeradores y denominadores al multiplicar fracciones, no puede sumar ni restar denominadores al sumar o restar fracciones.
  • Por ejemplo, arriba, encontramos que 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Si sumamos 4/4 en su lugar, obtenemos una respuesta completamente diferente: 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 o 3/2, ninguno de los cuales es igual a 4/8.