3 formas de simplificar expresiones algebraicas

Aprender a simplificar expresiones algebraicas es un requisito esencial para dominar el álgebra básica, además de ser una herramienta extremadamente valiosa para todos los matemáticos. La simplificación permite a un matemático convertir expresiones complejas, largas o inapropiadas en formas más simples o convenientes sin dejar de ser equivalente. La habilidad de simplificación básica es bastante fácil de aprender, incluso para aquellos que tienen aversión a las matemáticas. Siguiendo unos sencillos pasos, es posible simplificar muchos de los tipos más comunes de expresiones algebraicas sin tener ningún tipo de conocimiento matemático. ¡Lea el Paso 1 para comenzar!

pasos

Entender conceptos importantes

Paso 1. Defina “términos relacionados” por variables y potencias

En álgebra, los “números afines” tienen la misma configuración de variables, siendo elevados a las mismas potencias. En otras palabras, para que dos términos sean “afines”, deben tener las mismas variables, o ninguna en absoluto, y cada uno de ellos debe ser elevado al mismo poder, o ninguno en absoluto. El orden de las variables dentro del término no importa.

• Por ejemplo, 3x² y 4x² son términos relacionados porque cada uno de ellos contiene la variable x elevada a la segunda potencia. Sin embargo, x y x² no son términos relacionados, ya que cada uno tiene x elevado a una potencia diferente. De manera similar, -3yx y 5xz no son términos relacionados porque cada uno tiene un conjunto distinto de variables.

Paso 2. Factorizar la escritura de números como producto de dos factores

La factorización es el concepto de representar un número dado como producto de dos factores multiplicados. Los números pueden tener más de un conjunto de factores; por ejemplo, el número 12 puede estar formado por 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4, por lo que puede declarar que 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son todos los factores de 12. Otra forma de pensar es que los factores de un número son aquellos números por los que es igualmente divisible.

• Por ejemplo, si queremos factorizar 20, podemos escribirlo como 4×5.
• Tenga en cuenta que los términos variables también se pueden factorizar. -20x, por ejemplo, se puede escribir como 4 (-5x).
• Los números primos no se pueden factorizar porque solo son divisibles por ellos mismos y por 1.

Paso 3. Utilice el acrónimo PEMDAS para recordar el orden de las operaciones

Ocasionalmente, simplificar una expresión no significa más que realizar operaciones en esa expresión hasta que ya no sea posible. En tales casos, es importante recordar el orden de las operaciones para no cometer errores aritméticos. El acrónimo PEMDAS puede ser de gran ayuda cuando necesite recordar el orden de las operaciones - las letras corresponden a los tipos de operaciones que se deben realizar, en orden:

• PORarneses.
• Yexponentes.
• METROmultiplicación.
• Division.
• LOSedición.
• ssustracción.

Método 1 de 3: combinación de términos relacionados

Paso 1. Escribe tu ecuación

Las ecuaciones algebraicas más simples, aquellas que involucran solo unos pocos términos variables con coeficientes enteros y sin fracciones, radicales, etc., a menudo se pueden resolver en unos pocos pasos. Como ocurre con la mayoría de los problemas de matemáticas, el primer paso para simplificar la ecuación es escribirla.

• Como problema de ejemplo, para los próximos pasos, consideraremos la expresión 1 + 2x-3 + 4x.

Paso 2. Identifique los términos relacionados

A continuación, busque en su ecuación términos relacionados. Recuerda que los términos semejantes tienen las mismas variables y los mismos exponentes.

• Por ejemplo, identifiquemos términos relacionados en la ecuación 1 + 2x-3 + 4x. Tanto 2x como 4x tienen la misma variable elevada al mismo exponente (en este caso, las x no se elevan a ninguna potencia). Además, 1 y -3 son términos relacionados, ya que ninguno tiene variables. Entonces, en nuestra ecuación, 2x y 4x y 1 y -3 son términos relacionados.

Paso 3. Combine términos relacionados

Ahora que ha identificado términos relacionados, puede combinarlos para simplificar la ecuación. Suma los términos (o réstalos para términos negativos) para reducir cada conjunto de términos con variables y exponentes iguales a un término singular.

• Agreguemos términos relacionados en nuestro ejemplo:
  • 2x + 4x = 6 veces.
  • 1+(-3) = - 2.

Paso 4. Cree una expresión simplificada a partir de sus términos simplificados

Después de combinar sus términos relacionados, cree una expresión a partir de su conjunto de términos nuevos y simplificados. Debería obtener una expresión más simple, con un término para cada conjunto diferente de variables y exponentes en la expresión original. Esta nueva expresión es la misma que la primera.

• En nuestro ejemplo, los términos simplificados son 6x y -2, por lo que la nueva expresión será 6x-2. Esta expresión simplificada es la misma que la original (1 + 2x-3 + 4x), pero más pequeña y más fácil de resolver. También es más simple de factorizar, lo cual, como veremos a continuación, es otra habilidad importante en la simplificación.

Paso 5. Obedezca el orden de las operaciones al combinar términos relacionados

En expresiones extremadamente simples como la del ejemplo anterior, identificar términos es simple. Sin embargo, en expresiones más complejas, como las que involucran términos entre paréntesis, fracciones y radicales, los términos relacionados que pueden combinarse pueden no ser evidentes. En estos casos, siga el orden de las operaciones, realizando operaciones en los términos de la expresión según sea necesario, hasta que solo queden la suma y la resta.

• Por ejemplo, considere la ecuación 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x. Sería incorrecto identificar inmediatamente 3x y 2x como términos relacionados y combinarlos a pesar del paréntesis, ya que primero debemos realizar otras operaciones. Inicialmente, realizaremos operaciones aritméticas en la expresión de acuerdo con el orden de las operaciones, para obtener términos que podamos usar. Vea abajo:
  • 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x.
  • 15x-5 + x (x) + 8-3x.
  • 15x-5 + x².

    Ahora, dado que solo quedan las operaciones de suma y resta, podemos combinar los términos relacionados

  • X²+ 12x + 3.

Método 2 de 3: Factorización

Paso 1. Identifica el máximo común divisor de la expresión

Factorizar es una forma de simplificar expresiones eliminando factores comunes de los términos de expresión. Para empezar, encuentre el máximo común divisor que comparten todos los términos de la expresión; en otras palabras, el mayor número por el cual todos los términos de la expresión son igualmente divisibles.

• Usemos la ecuación 9x²+ 27x-3. Tenga en cuenta que todos los términos de la ecuación son divisibles por 3. Dado que los términos no son igualmente divisibles por otro número mayor, podemos determinar que

  Paso 3. es el máximo común divisor de la expresión.

Paso 2. Divide los términos de la expresión entre el máximo común divisor

Luego, divide cada término en la ecuación por el máximo común divisor encontrado. Los términos resultantes tendrán coeficientes más bajos que en la expresión original.

• Factoricemos nuestra ecuación por su máximo común divisor, 3. Para hacer esto, dividiremos cada término por 3.
  • 9 veces²/ 3 = 3 veces²
  • 27 veces / 3 = 9 veces
  • -3/3 = -1
    • Entonces nuestra nueva expresión es 3 veces²+ 9x-1.

Paso 3. Grafica tu expresión como el producto del máximo común divisor y los términos restantes

La nueva expresión no es la misma que la anterior, es decir, no se puede decir que esté simplificada. Para igualarlo al anterior, es necesario notar el hecho de que fue dividido por el máximo común divisor. Encierre su expresión entre paréntesis y establezca el máximo común divisor de la ecuación original como el coeficiente de la expresión entre paréntesis.

• En el caso de nuestra expresión de ejemplo, 3x²+ 9x-1, cerraremos la expresión entre paréntesis y la multiplicaremos por el máximo común divisor de la ecuación original para obtener 3 (3 veces²+ 9x-1). Esta ecuación es la misma que la original, 9x²+ 27x-3.

Paso 4. Usa la factorización para simplificar fracciones

Es posible que ahora se esté preguntando por qué la factorización es útil si, después de eliminar el máximo común divisor, la nueva expresión debe multiplicarse por él nuevamente. De hecho, la factorización permite a un matemático realizar una serie de trucos al simplificar una expresión. Uno de los más simples implica aprovechar el hecho de que multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número dará como resultado una fracción equivalente. Vea abajo:

• Digamos nuestra expresión de ejemplo original, 9x²+ 27x-3, sea el numerador de una fracción mayor con 3 en su denominador. Esta fracción se vería así: (9x²+ 27x-3) / 3. Podemos usar la factorización para simplificar esta fracción:
  • Reemplazamos la forma factorizada de nuestra expresión original con la expresión en el numerador: [3 (3x²+ 9x-1)] / 3.
• Tenga en cuenta que ahora tanto el numerador como el denominador comparten el coeficiente 3. Al dividir ambos por 3, obtenemos: (3x³+ 9x-1) / 1.
• Dado que cada fracción que tiene "1" en su denominador es igual a los términos en el numerador, podemos decir que la fracción original se puede simplificar a 3 veces²+ 9x-1.

Método 3 de 3: Aplicación de habilidades de simplificación adicionales

Paso 1. Simplifica fracciones dividiendo factores comunes

Como se señaló anteriormente, si el numerador y el denominador de una expresión comparten factores, esos factores pueden eliminarse por completo de la fracción. A veces, esto requerirá factorizar el numerador, el denominador o ambos (como fue el caso descrito anteriormente), mientras que en otras ocasiones los factores compartidos serán evidentes. Tenga en cuenta que también es posible dividir los términos del numerador por la expresión en el denominador, individualmente, para obtener una expresión simplificada.

• Tomemos un ejemplo que no requiere necesariamente una factorización inmediata. En el caso de la fracción (5x²+ 10x + 20) / 10, tal vez podamos dividir cada término en el numerador por el número 10 en el denominador para simplificarlo, aunque el coeficiente “5” en 5x² no es mayor que 10 y, por lo tanto, no puede tener 10 como divisor.
  • Hacerlo nos lleva al resultado [(5x²) / 10] + x + 2. Si lo preferimos, podemos reescribir el primer término por (1/2) x² para obtener el resultado (1/2) x²+ x + 2.

Paso 2. Usa factores cuadrados para simplificar radicales

Las expresiones bajo el símbolo de raíz cuadrada se denominan expresiones radicales. Pueden simplificarse identificando factores cuadrados (factores que son cuadrados de un número dado) y realizando la operación de raíz cuadrada en ellos por separado para eliminarlos de debajo del signo de la raíz cuadrada.

• Tomemos el siguiente ejemplo: √ (9). Si pensamos en el número 90 como un producto de dos de sus factores, 9 y 10, podemos sacar la raíz cuadrada de 9 para obtener el número entero 3 y eliminarlo del radical. En otras palabras:
  • √(90).
  • √(9×10).
  • [√(9)×√(10)].
  • 3×√(10).
  • 3√10.

Paso 3. Suma exponentes multiplicando dos términos exponenciales; réstelos dividiendo estos términos

Algunas expresiones algebraicas requieren la multiplicación o división de términos exponenciales. En lugar de calcular cada término exponencial y multiplicar o dividir a mano, simplemente agregue exponentes al multiplicar y restarlos al dividir, para ahorrar tiempo. Este concepto también se puede utilizar para simplificar expresiones variables.

• Por ejemplo, considere la expresión 6x³× 8x⁴+ (x¹⁷/X¹⁵). En cada ocasión en que sea necesario multiplicar o dividir por exponentes, restaremos o sumaremos, respectivamente, para encontrar rápidamente un término simplificado. Vea abajo:
  • 6 veces³× 8x⁴+ (x¹⁷/X¹⁵)
  • (6 × 8) x³⁺⁴+ (x^17-15)
  • 48 veces⁷+ x²
• La razón por la que esto funciona es la siguiente:
  • Multiplicar términos exponenciales es, en esencia, como multiplicar cadenas largas de términos no exponenciales. Por ejemplo, dado que x³ = x × x × x y x⁵ = x × x × x × x × x, x³× x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x⁸
• De manera similar, dividir términos exponenciales es como dividir cadenas largas de términos no exponenciales. X⁵/X³ = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Dado que cada término en el numerador se puede cancelar mediante un término de combinación en el denominador, nos quedan dos x en el numerador y ninguno en el denominador, obteniendo la respuesta x².

Consejos

• Recuerde siempre que debe pensar que estos números tienen signos más o menos. Mucha gente tiene dificultades para pensar “¿Qué letrero debo poner aquí? "
• ¡Pide ayuda cuando la necesites!
• Simplificar expresiones algebraicas no es fácil, pero una vez que aprendas a usarlas, usarás esta habilidad a lo largo de tu vida.

Avisos

• Busque siempre términos relacionados y no se deje engañar por los exponentes.
• No sumes accidentalmente ningún número, exponente u operación que no pertenezca a la expresión.