Cómo dividir matrices (con imágenes)

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Cómo dividir matrices (con imágenes)
Cómo dividir matrices (con imágenes)
Anonim

Saber cómo multiplicar dos matrices ya está a medio camino de aprender a "dividir" una matriz por otra. La palabra "dividir" se escribe entre comillas porque las matrices técnicamente no se pueden dividir. En cambio, necesita multiplicar una matriz por la inversa de la otra. Si esto suena extraño, considere esta idea en términos de conceptos matemáticos más comunes: en lugar de calcular 10 ÷ 5, puede tomar el inverso de 5 (5-1 o 1/5), calcule 10 x 5-1 y obtenga la misma respuesta. Por lo tanto, la multiplicación por el inverso de una matriz se considera el proceso más cercano a la división en esta rama de las matemáticas. Estos cálculos se utilizan comúnmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Guía rápida

  1. No existe una definición para la división matricial. En su lugar, multiplique la primera matriz por la inversa de la segunda. Reescribe el problema [A] ÷ [B] como [A] * [B]-1 o [B]-1 * [A].
  2. Si la matriz [B] no es cuadrada o si su determinante es igual a cero, escriba "no hay una solución única". De lo contrario, encuentre el determinante de [B] y continúe con el siguiente paso.
  3. Calcule el valor de [B]-1 (la inversa de [B]).
  4. Multiplica las matrices para calcular [A] * [B]-1 o [B]-1 * [A]. Tenga en cuenta que esto no necesariamente dará como resultado la misma respuesta.

    pasos

    Parte 1 de 3: Confirmación de que la "división" es posible

    Dividir matrices Paso 1
    Dividir matrices Paso 1

    Paso 1. Comprender la matriz "dividida"

    Técnicamente, tal concepto no existe. Dividir una matriz por otra es una función indefinida. El equivalente más cercano es la multiplicación por la inversa de otra matriz. En otras palabras, aunque [A] ÷ [B] no está definido, es posible calcular [A] * [B]-1. Dado que las dos ecuaciones serían equivalentes en magnitud escalar, esto "parece" una división matricial, pero es importante utilizar la terminología correcta.

    • Tenga en cuenta que [A] * [B]-1 y B]-1 * [A] no son el mismo problema. Es posible que deba calcular ambos para encontrar posibles soluciones.
    • Por ejemplo, en lugar de (13263913) ÷ (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 \ 39 & 13 \ end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 \ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}

      , escreva (13263913)∗(7423)−1{displaystyle {begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}}

      Você também pode precisar calcular (7423)−1∗(13263913){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}}

      , que pode ter uma resposta diferente.

    Dividir matrices Paso 2
    Dividir matrices Paso 2

    Paso 2. Verifique que la "matriz divisora" sea cuadrada

    Para obtener la inversa de una matriz, debe ser cuadrada, con el mismo número de filas y columnas. De lo contrario, no existe una única solución al problema.

    • El término "matriz divisoria" es un poco vago ya que técnicamente no es un problema de división. Para [A] * [B]-1, esto se refiere a la matriz [B]. En el ejemplo utilizado, es matrix (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 \ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}

    Dividir matrices Paso 3
    Dividir matrices Paso 3

    Paso 3. Verifique si dos matrices se pueden multiplicar juntas

    Para hacer esto, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda matriz. Si no funciona en ninguna de las configuraciones ([A] * [B]-1 o [B]-1 * [A]), entonces el problema no tiene solución.

    • Por ejemplo, si [A] es una matriz de 4 x 3 y [B] es una matriz de 2 x 2, entonces no hay solución. [A] * [B]-1 no se puede calcular ya que 4 ≠ 2 y [B]-1 * [A] tampoco, ya que 2 ≠ 3.
    • Tenga en cuenta que la inversa de [B]-1 siempre tiene el mismo número de filas y columnas que la matriz original [B]. No es necesario calcular la inversa para completar este paso.
    • En el ejemplo utilizado, ambas matrices son 2 x 2, por lo que se pueden multiplicar en cualquier orden.
    Dividir matrices Paso 4
    Dividir matrices Paso 4

    Paso 4. Encuentre el determinante de una matriz de 2 x 2

    Hay un requisito más que verificar antes de poder obtener el inverso de una matriz. Su determinante no puede ser cero. De lo contrario, la matriz no tendrá inversa. A continuación, se explica cómo encontrar el determinante en el caso más simple, una matriz de 2 x 2:

    • Matriz 2 x 2:

      el determinante de (abcd) { displaystyle { begin {pmatrix} a & b \ c & d \ end {pmatrix}}}

      é ad - bc. Em outras palavras, pegue o produto da diagonal principal (do canto superior esquerdo para ao canto inferior direito), depois subtraia o produto da diagonal inversa (do canto superior direito para ao canto inferior esquerdo).

    • Por exemplo, a matriz (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}}
    • tem o determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Ele não é o número zero, então é possível encontrar o inverso.

    Dividir matrices Paso 5
    Dividir matrices Paso 5

    Paso 5. Encuentre el determinante de una matriz más grande

    Si la matriz es de 3 x 3 o más, se necesita un poco más de trabajo para encontrar el determinante:

    • Matriz 3 x 3: elija cualquier elemento y tache la fila y columna a la que pertenece. Encuentre el determinante de la matriz 2 x 2 restante, multiplíquelo por el elemento elegido y observe el signo de la gráfica de la matriz para determinar el signo. Repita este paso para los siguientes dos elementos en la misma fila o columna que el primer elemento elegido, luego sume los tres determinantes. Lea este artículo para obtener instrucciones paso a paso y consejos sobre cómo acelerar este proceso.
    • matrices más grandes: Se recomienda el uso de una calculadora gráfica o software. El método es similar a la matriz de 3 x 3, pero lleva más tiempo hacerlo a mano. Por ejemplo, para encontrar el determinante de una matriz de 4 x 4, necesita encontrar los determinantes de cuatro matrices de 3 x 3.
    Dividir matrices Paso 6
    Dividir matrices Paso 6

    Paso 6. Continúe

    Si la matriz no es cuadrada, o si su determinante es igual a cero, escriba "no hay una solución única". El problema está completo. Si la matriz es cuadrada y tiene un determinante distinto de cero, continúe con la siguiente sección para aprender el siguiente paso: encontrar la inversa.

    Parte 2 de 3: invertir una matriz

    Dividir matrices Paso 7
    Dividir matrices Paso 7

    Paso 1. Cambie las posiciones de los elementos diagonales principales de 2 x 2

    Si la matriz es 2 x 2, puede utilizar un atajo para facilitar mucho este cálculo. El primer paso en este atajo consiste en intercambiar el elemento de la esquina superior izquierda con el elemento de la esquina inferior derecha. Por ejemplo:

    • (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 7 y 4 \ 2 y 3 \ end {pmatrix}}}

      → (3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}}

    • Observação:

      a maioria das pessoas usa uma calculadora para encontrar o inverso de uma matriz 3 x 3 ou maior. Se quiser fazer o cálculo à mão, consulte o final da seção.

    Dividir matrices Paso 8
    Dividir matrices Paso 8

    Paso 2. Tome el opuesto de los otros dos elementos, pero déjelos en su lugar

    En otras palabras, multiplique los elementos en las esquinas superior "derecha" e inferior "izquierda" por -1:

    • (3427) { displaystyle { begin {pmatrix} 3 y 4 \ 2 y 7 \ end {pmatrix}}}

      → (3−4−27){displaystyle {begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}}

    Dividir matrices Paso 9
    Dividir matrices Paso 9

    Paso 3. Tome el recíproco del determinante

    Encontraste el determinante de esta matriz en la sección anterior, por lo que no tienes que volver a hacerlo. Simplemente escriba el recíproco 1 / (determinante):

    • En el ejemplo, el determinante es 13. Su recíproco es 113 { displaystyle { frac {1} {13}}}

    Dividir matrices Paso 10
    Dividir matrices Paso 10

    Paso 4. Multiplica la nueva matriz por el recíproco del determinante

    Multiplica cada elemento de la nueva matriz por el recíproco recién calculado. La matriz resultante es la inversa de la matriz 2 x 2:

    • 113 ∗ (3−4−27) { displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 y -4 \ - 2 y 7 \ end {pmatrix}}}

      =(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}

    Dividir matrices Paso 11
    Dividir matrices Paso 11

    Paso 5. Verifique si la inversión es correcta

    Para hacer esto, multiplique la inversa por la matriz original. Si lo contrario es correcto, el producto siempre será idéntico a la matriz, (1001) { displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

    . Se estiver tudo certo, continue com a próxima seção para terminar o problema.

    • Para o exemplo utilizado, multiplique (313−413−213713)∗(7423)=(1001){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
    • Veja o artigo Como Multiplicar Matrizes caso precise de ajuda.
    • Observação: a multiplicação de matriz não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores influencia no resultado. No entanto, ao multiplicar uma matriz pelo seu inverso, ambas as opções vão resultar na matriz identidade.
    Dividir matrices Paso 12
    Dividir matrices Paso 12

    Paso 6. Vea en este artículo cómo invertir una matriz de 3x3 o más grande

    A menos que esté aprendiendo este proceso por primera vez, ahorre tiempo usando una calculadora gráfica o un software matemático para hacer operaciones matemáticas con matrices más grandes. Si no necesita hacer el cálculo a mano, consulte una guía rápida de un método:

    • Coloque la matriz de identidad I a la derecha de su matriz. Por ejemplo, [B] → [B | I]. La matriz de identidad tiene un elemento "1" junto con la diagonal principal y un elemento "0" sin todas las demás posiciones.
    • Realice operaciones en línea para reducir la matriz hasta que el lado izquierdo esté en forma escalada, luego continúe la reducción hasta que el lado izquierdo sea idéntico a la matriz de identidad.
    • Al final de la operación, la matriz tendrá la forma [I | B-1]. En otras palabras, el lado derecho será el inverso de la matriz original.

    Parte 3 de 3: multiplicar las matrices para completar el problema

    Dividir matrices Paso 13
    Dividir matrices Paso 13

    Paso 1. Escribe las dos posibles ecuaciones

    En "matemáticas comunes" con cantidades escalares, la multiplicación es conmutativa; 2 x 6 = 6 x 2. Sin embargo, no ocurre lo mismo con las matrices, por lo que debe calcular dos problemas:

    • [A] * [B]-1 es la solución x al problema x [B] = [A].
    • [B]-1 * [A] es la solución x al problema [B] x = [A].
    • Si esto es parte de una ecuación, realice la misma operación en ambos lados. Si [A] = [C], entonces [B]-1[LOS] no es igual a [C] [B]-1, porque [B]-1 está en el lado izquierdo de [A], pero en el lado derecho de [C].
    Dividir matrices Paso 14
    Dividir matrices Paso 14

    Paso 2. Encuentra las dimensiones de la respuesta

    Las dimensiones de la matriz final son las dimensiones externas de los dos factores. Tiene el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz.

    • Volviendo al problema original, ambos (13263913) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 \ 39 & 13 \ end {pmatrix}}}

      quanto (313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}

      são matrizes 2 x 2, então as dimensões da resposta também serão 2 x 2.

    • Para usar um exemplo mais complicado, se [A] é uma matriz

      Passo 4. x 3 e [B]-1 é uma matriz 3

      Passo 3., então a matriz [A] * [B]-1 possui dimensões 4 x 3.

    Dividir matrices Paso 15
    Dividir matrices Paso 15

    Paso 3. Calcula el valor del primer elemento.

    Consulte el artículo vinculado anteriormente para obtener instrucciones más detalladas o actualice su memoria con el siguiente resumen:

    • Para encontrar la fila 1 y la columna 1 de [A] [B]-1, encuentre el producto escalar de la fila [A] 1 y la columna [B]-1 2. Es decir, para una matriz de 2 x 2, calcule a1, 1 ∗ b1, 1 + a1, 2 ∗ b2, 1 { displaystyle a_ {1, 1} * b_ {1, 1} + a_ {1, 2 } * b_ {2, 1}}

    • No exemplo utilizado (13263913)∗(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}
    • , a linha 1 coluna 1 da resposta é:

      (13∗313)+(26∗−213){displaystyle (13*{frac {3}{13}})+(26*{frac {-2}{13}})}

      =3+−4{displaystyle =3+-4}

      =−1{displaystyle =-1}

    Dividir matrices Paso 16
    Dividir matrices Paso 16

    Paso 4. Repita el proceso del producto escalar para cada posición de la matriz

    Por ejemplo, el elemento en la posición 2, 1 es el producto escalar de la fila [A] 2 y la columna [B]-1 1. Intente completar el ejemplo usted mismo. Debería obtener las siguientes respuestas:

    • (13263913) ∗ (313−413−213713) = (- 1107−5) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 y 26 \ 39 y 13 \ end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 y 10 \ 7 y -5 \ end {pmatrix}}}

    • caso precise encontrar outra solução, (313−413−213713)∗(13263913)=(−92193){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}}

    dicas

    • você pode dividir uma matriz por uma grandeza escalar dividindo cada elemento da matriz pela grandeza.

      • por exemplo, a matriz (6824){displaystyle {begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}}
      • dividida por 2 = (3412){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}}

    avisos

    • as calculadoras nem sempre são 100% precisas no que diz respeito aos cálculos de matrizes. por exemplo, se a calculadora informa que um elemento é um número muito pequeno (2e-8, por exemplo), é provável que o valor seja zero.

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