6 formas de factorizar polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas)

Un polinomio contiene una variable (x) elevada a una potencia, conocida como grado, y varios términos y / o constantes. Factorizar un polinomio significa dividir la expresión en expresiones más pequeñas que se multiplican. Este conocimiento se estudia desde Álgebra I en adelante y puede ser difícil de entender si no tienes una base.

pasos

A partir de

Paso 1. Ensamble la expresión

El formato estándar para la ecuación cuadrática es:

hacha² + bx + c = 0

Comience ordenando los términos de la ecuación de mayor a menor potencia, tal como se muestra en el formulario anterior. Por ejemplo, tome;

6 + 6x² + 13x = 0

La expresión se reordenará para que se pueda trabajar más fácilmente cambiando la ubicación de los términos:

6 veces² + 13x + 6 = 0

Paso 2. Encuentra la forma factorizada usando uno de los métodos siguientes

Factorizar un polinomio da como resultado dos expresiones más pequeñas que se pueden multiplicar para producir el polinomio original:

6 veces² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

En este ejemplo, (2x +3) y (3x + 2) son factores de la expresión original, 6x² + 13x + 6.

Paso 3. ¡Comprueba el resultado

Multiplica los factores identificados. Luego, simplemente combine términos similares. Empezar con:

(2x + 3) (3x + 2)

Probémoslo usando el método FOIL (inglés para primero afuera, adentro, último, primero afuera, luego adentro), también llamado propiedad distributiva de la multiplicación, obteniendo:

6 veces² + 4x + 9x + 6

Ahora es posible agregar 4x y 9x ya que son términos similares. Sabes que los factores son correctos porque se obtuvo la ecuación original:

6 veces² + 13x + 6

Método 1 de 6: prueba y error

Si tiene un polinomio muy simple, es posible que pueda averiguar los factores usted mismo mirándolo. Por ejemplo, después de la práctica, muchos matemáticos pueden identificar que la expresión 4x² + 4x + 1 tiene los factores (2x + 1) y (2x + 1) después de haber trabajado mucho con esta expresión previamente. Pero, por supuesto, no será tan fácil con los polinomios más complicados. En este ejemplo, usaremos una expresión menos común:

3 veces² + 2x - 8

Paso 1. Enumere los factores para los términos ay c

Usando el formato de hacha estándar² + bx + c = 0, identifica los términos de ayc y enumera sus factores. Para 3x² + 2x - 8, esto significa:

a = 3 y tiene un conjunto de factores: 1 * 3

c = -8 y tiene cuatro conjuntos de factores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 y -1 * 8.

Paso 2. Reúna dos juegos de paréntesis vacíos

Los rellenarás con las constantes de cada expresión:

(x) (x)

Paso 3. Completa los espacios frente a las x con un par de factores posibles para el valor a

Para el término a en el ejemplo utilizado, 3x², solo hay una posibilidad:

(3 veces) (1x)

Paso 4. Completa los dos espacios después de las x con un par de factores para las constantes

Suponga que elige los números 8 y 1. Escríbalos:

(3 veces

Paso 8.)(

Paso 1

Paso 5. Decide qué signos (suma o resta) deben ir entre las variables de x y los números

Dependiendo de los signos de la expresión original, es posible averiguar cuáles deberían ser los signos de las constantes. Llamemos a las dos constantes para los dos factores h y k:

si x² + bx + c, luego (x + h) (x + k)

si x² - bx - co ax² + bx - c, luego (x - h) (x + k)

si x² - bx + c, luego (x - h) (x - k)

Por ejemplo, 3x² + 2x - 8, los signos deben ser: (x - h) (x + k), resultando en los dos factores:

(3x + 8) y (x - 1)

Paso 6. Pruebe las opciones usando la propiedad distributiva

Una primera prueba rápida para ejecutar es ver si los términos intermedios coinciden con los valores correctos. De lo contrario, es posible que haya elegido los factores incorrectos para c. Probemos la respuesta:

(3x + 8) (x - 1)

Al realizar la multiplicación, obtendrás:

3 veces² - 3x + 8x - 8

Al simplificar esta expresión por la suma de términos similares (-3x) y (8x), se obtiene:

3 veces² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Ahora sabemos que necesitamos identificar los factores incorrectos:

3 veces² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

Paso 7. Cambie los factores si es necesario

En el ejemplo utilizado, intentemos usar 2 y 4 en lugar de 1 y 8:

(3x + 2) (x - 4)

Ahora, el término c es igual a -8, pero el producto externo / interno (3x * -4) y (2 * x) es igual a -12x y 2x, que no se combinarán para crear el término b correcto de + 2x.

-12x + 2x = 10x

10x ≠ 2x

Paso 8. Invierta el orden si es necesario

Intentemos mover el 2 y el 4:

(3x + 4) (x - 2)

Ahora el término c (4 * 2 = 8) sigue siendo correcto, pero los productos exterior / interior son -6x y 4x. Combinándolos:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x Estamos cerca de 2x, pero la señal es incorrecta.

Paso 9. Verifique las señales si es necesario

Mantenga el mismo orden, pero cambie el que tenga el signo menos:

(3x - 4) (x + 2)

Ahora el término c sigue siendo correcto, pero los productos exterior / interior son (6x) y (-4x). Igual que:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Ahora es posible reconocer el término positivo 2x del problema original. Estos deben ser los factores correctos.

Método 2 de 6: Descomposición

Este método identifica todos los factores posibles para los términos ayc y los usa para averiguar cuáles deberían ser los factores. Si los números son demasiado grandes o los otros métodos parecen más complicados, utilice este método. Usemos el ejemplo:

6 veces² + 13x + 6

Paso 1. Multiplica los términos ay c

En este ejemplo, ambos son iguales a 6.

6 * 6 = 36

Paso 2. Encuentra el valor del término b factorizando y probando

Necesitas encontrar dos números que sean factores del producto de a * c y que también sean equivalentes al término b (13) cuando se suman.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Paso 3. Sustituye los dos números obtenidos en la ecuación como la suma del término b

Usemos k y h para representar los dos números que obtenemos, 4 y 9:

hacha² + kx + hx + c

6 veces² + 4x + 9x + 6

Paso 4. Factoriza el polinomio mediante agrupación

Organiza la ecuación de modo que puedas factorizar el máximo común divisor de los dos primeros y los dos últimos términos. Ambos grupos factorizados deben ser iguales. Sume los mayores factores comunes y colóquelos entre paréntesis junto al grupo factorizado; el resultado serán los dos factores:

6 veces² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Método 3 de 6: Triple Match

Similar a la descomposición, el método de "inicio triple" examina los posibles factores de los productos de los términos ayc, luego los usa para encontrar el valor de b. Como ejemplo, considere la siguiente ecuación:

8x² + 10x + 2

Paso 1. Multiplica los términos ay c

Esto le ayudará a identificar las posibilidades del término b, así como el método de descomposición. En este ejemplo, a es igual a 8 y c es igual a 2.

8 * 2 = 16

Paso 2. Encuentra dos números con esos números cuyo producto y suma sean equivalentes al término b

Este paso es idéntico al método de descomposición: debe probar y rechazar candidatos para constantes. El producto de los términos ayc es 16, y el término c es igual a 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Paso 3. Tome estos dos números y pruebe su sustitución en la fórmula de "triple coincidencia"

Tome los dos números del paso anterior, llamémoslos h y k, y colóquelos en esta expresión:

((ax + h) (ax + k)) / a

En este caso, obtendremos:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Paso 4. Vea cuál de los dos términos del numerador es igualmente divisible por a

En este ejemplo, estamos probando si (8x + 8) o (8x + 2) se pueden dividir entre 8. (8x + 8) es divisible entre 8, así que dividamos este término por ay dejemos los demás como están..

(8x + 8) = 8 (x + 1)

El término que estamos ahorrando en este caso es el resto de la división por el término a: (x + 1)

Paso 5. Tome el máximo común divisor de uno o ambos términos, si lo hay

En este ejemplo, el segundo término tiene el número 2 como su mayor factor común, ya que 8x + 2 = 2 (4x + 1). Empareje esta respuesta con el término identificado en el paso anterior. Estos son los factores de la ecuación.

2 (x + 1) (4x + 1)

Método 4 de 6: diferencia de dos raíces

Algunos coeficientes en polinomios se pueden identificar como "raíces" o el producto de dos números. La identificación de estas raíces le permite factorizar polinomios mucho más rápidamente. Considere la ecuación:

27x² - 12 = 0

Paso 1. Considere el factor común más grande si es posible

En este caso, podemos ver que 27 y 12 son divisibles por 3, así que sepárelos:

27x² - 12 = 3 (9 veces² - 4)

Paso 2. Identifica si los coeficientes de la ecuación son números cuadrados

Para utilizar este método, debe poder obtener la raíz cuadrada exacta de los términos. Tenga en cuenta que los signos menos se omiten, ya que estos números son cuadrados que pueden ser productos de dos números positivos o negativos.

9 veces² = 3x * 3x y 4 = 2 * 2

Paso 3. Usando las raíces cuadradas identificadas, escriba los factores

Tome los valores de ayc del paso anterior (a = 9 yc = 4) y calcule sus raíces cuadradas - √ a = 3 y √ c = 2. Serán los coeficientes factoriales de las expresiones:

27x² - 12 = 3 (9 veces² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Método 5 de 6: fórmula cuadrática

Si los otros métodos fallan y la ecuación no se factoriza uniformemente, use la fórmula cuadrática. Considere el siguiente ejemplo:

X² + 4x + 1 = 0

Paso 1. Sustituye los valores correspondientes en la fórmula cuadrática:

x = -b ± √ (b² - 4c)

---------------------

2do

Obtenemos la expresión:

x = -4 ± √ (4² - 4•1•1) / 2

Paso 2. Calcula el valor de x

Debería obtener dos valores para x. Como se muestra arriba, obtenemos dos respuestas:

x = -2 + √ (3) o x = -2 - √ (3)

Paso 3. Usa los valores de x para calcular los factores

Sustituye los valores de x. Serán los factores. Si identificamos las dos respuestas como h y k, necesitamos escribir los factores de la siguiente manera:

(x - h) (x - k)

En este caso, la respuesta final es:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Método 6 de 6: usar una calculadora

Si es posible utilizarlo, una calculadora gráfica facilita mucho el proceso de factorización, especialmente en las pruebas. Las siguientes instrucciones son para una calculadora gráfica. Considere el siguiente ejemplo:

y = x² - x - 2

Paso 1. Ingrese la ecuación en la calculadora

Utilizará un solucionador de ecuaciones, también conocido como pantalla [Y =].

Paso 2. Grafica la ecuación en la calculadora

Después de escribir la ecuación, presione la tecla [GRÁFICO]; debería ver un arco que representa la ecuación (y será un arco ya que estamos tratando con polinomios).

Paso 3. Vea dónde el arco se cruza con el eje x

Dado que las ecuaciones polinomiales generalmente se escriben como ax² + bx + c = 0, estos son los dos valores de x que hacen que la expresión sea igual a cero:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Si no puede identificar dónde el gráfico cruza el eje x, presione [2nd] y luego [TRACE]. Presione [2] o seleccione "cero". Deslice el cursor hacia la izquierda de la intersección y presione [ENTER]. Deslice el cursor hacia la derecha de la intersección y presione [ENTER]. Deslice el cursor lo más cerca posible de la intersección y presione [ENTER]. La calculadora encontrará el valor de x. Haz lo mismo con la otra intersección

Paso 4. Sustituye los valores de x obtenidos en el paso anterior en dos expresiones de factores

Cuando se utilizan los dos valores de x (h y k), la expresión utilizada será:

(x - h) (x - k) = 0

Por tanto, los dos factores deben ser:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Consejos

• Si tiene una calculadora TI-84 (gráfica), hay un programa llamado "SOLVER" que resuelve una ecuación cuadrática. También resuelve polinomios de otros grados.
• Si un término no existe, el coeficiente es 0. Puede ser útil reescribir la ecuación si existe, por ejemplo: x² + 6 = x² + 0x + 6.
• Si factorizó un polinomio usando la fórmula cuadrática y obtuvo respuestas con radicales, convierta los valores de x en fracciones para verificarlos.
• Si el término no tiene un coeficiente escrito, será 1, es decir, x² = 1x².
• Después de mucha práctica, eventualmente podrás factorizar polinomios en tu cabeza. Hasta entonces, escríbalos en papel.

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