Dividir raíces cuadradas es básicamente lo mismo que simplificar una fracción. Por supuesto, la presencia de raíces cuadradas complica un poco el proceso, pero algunas reglas nos permiten trabajar con fracciones de manera relativamente simple. La clave es recordar que es necesario dividir coeficientes por coeficientes y radicandos por radicandos. Además, no puede tener una raíz cuadrada en el denominador.
pasos
Método 1 de 4: División de Radicans
Paso 1. Arma la fracción
Si la expresión aún no está ensamblada en forma de fracción, constrúyala de esa manera. Si lo hace, será más fácil seguir los pasos necesarios para realizar la división de raíz cuadrada. Recuerda que la barra de fracción es también la barra de división.
- Por ejemplo, si calcula 144 ÷ 36 { displaystyle { sqrt {144}} div { sqrt {36}}}
, reescreva o problema da seguinte forma: 14436{displaystyle {frac {sqrt {144}}{sqrt {36}}}}
Paso 2. Utilice un signo radical
Si el problema tiene una raíz cuadrada en el numerador y el denominador, puede colocar ambos radicandos sobre un solo signo de radical: un radicando es el número debajo del signo del radical o raíz cuadrada. Hacerlo simplificará el proceso de simplificación.
- Por ejemplo, 14436 { displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}}}
pode ser reescrito por 14436{displaystyle {sqrt {frac {144}{36}}}}
Paso 3. Divida los radicandos
Divida los números como lo haría con cualquier número entero. Recuerde poner los cocientes bajo un nuevo signo de radical.
- Por ejemplo, 14436 = 4 { displaystyle { frac {144} {36}} = 4}
, então 14436=4{displaystyle {sqrt {frac {144}{36}}}={sqrt {4}}}
Paso 4. Simplifique si es necesario
Si la raíz (o uno de sus factores) es un cuadrado perfecto, debes simplificar la expresión. Un cuadrado perfecto es el producto de un número entero multiplicado por sí mismo. Por ejemplo, 25 es una raíz perfecta porque 5 × 5 = 25 { displaystyle 5 \ times 5 = 25}
- Por exemplo, 4 é uma raiz perfeita, pois 2×2=4{displaystyle 2\times 2=4}
. Portanto:
4{displaystyle {sqrt {4}}}
=2×2{displaystyle ={sqrt {2\times 2}}}
=2{displaystyle =2}
Sendo assim, 14436=4=2{displaystyle {frac {sqrt {144}}{sqrt {36}}}={sqrt {4}}=2}
Método 2 de 4: Fatorando radicandos
Paso 1. Expresa el problema como una fracción
Probablemente la expresión ya se haya escrito de esta manera; de lo contrario, cámbielo. Resolver el problema como una fracción facilita seguir los pasos necesarios, especialmente al factorizar raíces cuadradas. Recuerda que la barra de fracción también es la barra de división.
- Por ejemplo, si calcula 8 ÷ 36 { displaystyle { sqrt {8}} div { sqrt {36}}}
, reescreva o problema da seguinte forma: 836{displaystyle {frac {sqrt {8}}{sqrt {36}}}}
Paso 2. Factoriza cada raíz
Factoriza el número como lo harías con cualquier número entero. Mantenga los factores bajo el signo de radical.
-
Por ejemplo:
836 = 2 × 2 × 26 × 6 { displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}} = { frac { sqrt {2 \ times 2 \ times 2}} { sqrt {6 \ times 6}}}}
Paso 3. Simplifica el numerador y denominador de la fracción
Para simplificar una raíz cuadrada, elimine cada factor que forme un cuadrado perfecto. Un cuadrado perfecto es el resultado de un número entero multiplicado por sí mismo. Ahora el factor se convertirá en el coeficiente fuera de la raíz cuadrada.
-
Por ejemplo:
2 × 2 × 26 × 6 { displaystyle { frac { sqrt {{ cancel {2 \ times 2 \ times}} 2}} { sqrt { cancel {6 \ times 6}}}}}
226{displaystyle {frac {2{sqrt {2}}}{6}}}
Sendo assim, 836=226{displaystyle {frac {sqrt {8}}{sqrt {36}}}={frac {2{sqrt {2}}}{6}}}
Paso 4. Racionalice el denominador si es necesario
Como regla general, una expresión no puede tener una raíz cuadrada en el denominador. Si eso sucede, es necesario racionalizarlo. En otras palabras, debes cancelar la raíz cuadrada en el denominador. Para hacer esto, multiplica el numerador por el denominador de la fracción por la raíz cuadrada que necesitas cancelar.
- Por ejemplo, si la expresión es 623 { displaystyle { frac {6 { sqrt {2}}} { sqrt {3}}}}
, é preciso multiplicar o numerador e denominador por 3{displaystyle {sqrt {3}}}
para cancelar a raiz quadrada no denominador:
623×33{displaystyle {frac {6{sqrt {2}}}{sqrt {3}}}\times {frac {sqrt {3}}{sqrt {3}}}}
=62×33×3{displaystyle ={frac {6{sqrt {2}}\times {sqrt {3}}}{{sqrt {3}}\times {sqrt {3}}}}}
=669{displaystyle ={frac {6{sqrt {6}}}{sqrt {9}}}}
=663{displaystyle ={frac {6{sqrt {6}}}{3}}}
Paso 5. Siga simplificando si es necesario
A veces habrá un coeficiente que no se puede simplificar ni reducir. Simplifica números enteros en el numerador y denominador simplificando cualquier fracción.
- Por ejemplo, 26 { displaystyle { frac {2} {6}}}
pode ser reduzido para 13{displaystyle {frac {1}{3}}}
, então 226{displaystyle {frac {2{sqrt {2}}}{6}}}
pode ser reduzido para 123{displaystyle {frac {1{sqrt {2}}}{3}}}
, ou apenas 23{displaystyle {frac {sqrt {2}}{3}}}
Método 3 de 4: Dividindo raízes quadradas com coeficientes
Paso 1. Simplifique los coeficientes
Los coeficientes son números fuera del signo radical. Para simplificarlos, divídalos o reduzca, ignorando las raíces cuadradas por ahora.
- Por ejemplo, si calcula 432616 { displaystyle { frac {4 { sqrt {32}}} {6 { sqrt {16}}}}}
, comece simplificando 46{displaystyle {frac {4}{6}}}
. Tanto o numerador quanto o denominador podem ser divididos por um fator de 2. Portanto, você pode reduzir: 46=23{displaystyle {frac {4}{6}}={frac {2}{3}}}
Paso 2. Simplifica las raíces cuadradas
Si el numerador es igualmente divisible por el denominador, simplemente divida los radicandos. De lo contrario, simplifique cada raíz cuadrada normalmente.
- Por ejemplo, dado que 32 es igualmente divisible por 16, puedes dividir las raíces cuadradas: 3216 = 2 { displaystyle { sqrt { frac {32} {16}}} = { sqrt {2}}}
Paso 3. Multiplica los coeficientes simplificados por la raíz cuadrada simplificada
Recuerde que no es posible tener una raíz cuadrada en un denominador; luego, al multiplicar una fracción por una raíz cuadrada, coloca la raíz cuadrada en el numerador.
- Por ejemplo, 23 × 2 = 223 { displaystyle { frac {2} {3}} times { sqrt {2}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {3}}}
Paso 4. Cancele la raíz cuadrada en el denominador, si es necesario
El procedimiento se conoce como racionalización del denominador. Como regla general, una expresión no puede tener una raíz cuadrada en el denominador. Para racionalizar el denominador, multiplique el numerador y el denominador por la raíz cuadrada que necesita cancelar.
- Por ejemplo, si la expresión es 4327 { displaystyle { frac {4 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}
, é preciso multiplicar o numerador e denominador por 7{displaystyle {sqrt {7}}}
para cancelar a raiz quadrada no denominador:
437×77{displaystyle {frac {4{sqrt {3}}}{sqrt {7}}}\times {frac {sqrt {7}}{sqrt {7}}}}
=43×77×7{displaystyle ={frac {4{sqrt {3}}\times {sqrt {7}}}{{sqrt {7}}\times {sqrt {7}}}}}
=42149{displaystyle ={frac {4{sqrt {21}}}{sqrt {49}}}}
=4217{displaystyle ={frac {4{sqrt {21}}}{7}}}
Método 4 de 4: Dividindo por um binômio com uma raiz quadrada
Paso 1. Verifica si hay un binomio en el denominador
El denominador será el divisor del problema. Un binomio es un polinomio de dos términos. Este método solo se aplica a la división de raíz cuadrada que involucra un binomio.
- Por ejemplo, si calcula 15 + 2 { displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}}}
, existe um binômio no denominador, já que 5+2{displaystyle 5+{sqrt {2}}}
é um binômio de dois termos.
Paso 2. Encuentra el conjugado del binomio
Los pares conjugados son binomios que tienen los mismos términos pero operaciones opuestas. El uso de un par conjugado le permite cancelar una raíz cuadrada en el denominador.
- Por ejemplo, 5 + 2 { displaystyle 5 + { sqrt {2}}}
e 5−2{displaystyle 5-{sqrt {2}}}
são pares conjugados, já que possuem os mesmos termos, mas operações opostas.
Paso 3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador
Hacerlo le permite cancelar la raíz cuadrada, ya que el producto de un par conjugado es la diferencia del cuadrado de cada término en el binomio. Es decir, (a − b) (a + b) = a2 − b2 { displaystyle (a-b) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2}}
-
Por exemplo:
15+2{displaystyle {frac {1}{5+{sqrt {2}}}}}
=1(5−2)(5+2)(5−2){displaystyle ={frac {1(5-{sqrt {2}})}{(5+{sqrt {2}})(5-{sqrt {2}})}}}
=5−2(52−(2)2{displaystyle ={frac {5-{sqrt {2}}}{(5^{2}-({sqrt {2}})^{2}}}}
=5+225−2{displaystyle ={frac {5+{sqrt {2}}}{25-2}}}
=5+223{displaystyle ={frac {5+{sqrt {2}}}{23}}}
Portanto, 15+2=5+223{displaystyle {frac {1}{5+{sqrt {2}}}}={frac {5+{sqrt {2}}}{23}}}
Avisos
- Nunca deje un radical en el denominador de una fracción; en cambio, simplifíquelo o racionalícelo.
- Nunca coloque ni elimine un número decimal o mixto delante de un radical; en su lugar, cambie la fracción o simplifique toda la expresión.
- Nunca ponga un decimal en una fracción. Eso sería una fracción dentro de una fracción.
- Si el denominador incluye cualquier tipo de suma o resta, use un método de par conjugado para eliminar radicales del denominador.
