4 formas de racionalizar el denominador

En términos generales, el denominador (la parte inferior) de una fracción no puede tener radicales o números irracionales. Si esto sucede con un problema que está resolviendo, tendrá que multiplicar la fracción por uno o más valores que ayuden a eliminar esa expresión. Entonces, lea este artículo si necesita ayuda con esta operación durante la clase de matemáticas.

pasos

Método 1 de 4: Racionalización de denominadores monomiales

Paso 1. Examina la fracción

La fracción es correcta cuando no hay radicales en el denominador. Si tiene una raíz cuadrada u otro radical, tendrá que multiplicar las partes superior e inferior por un valor que resuelva la situación. De todos modos, recuerda que el numerador puede contener radicales.

• Por ejemplo: 7327 { displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}

• Esse exemplo traz um 7{displaystyle {sqrt {7}}}

no denominador.

Paso 2. Multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador

Es más fácil racionalizar cualquier fracción cuando el denominador es monomio. Solo no olvide que debe multiplicar las dos partes (superior e inferior) por el mismo término, ya que en realidad va a multiplicar todo por 1.

• Por ejemplo: 7327⋅77 { displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7 }}}}

• Se for usar uma calculadora, lembre-se de colocar parênteses em cada equação para não misturar as coisas.

Paso 3. Simplifica los términos de las fracciones

Convierte la fracción que acabas de crear en su forma más simple. En este caso, corte los factores comunes en el numerador y denominador (7).

• 7327⋅77 = 72114 = 212 { displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt { 7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}

Método 2 de 4: Racionalizando denominadores binomiais

Paso 1. Examina la fracción

Si la fracción contiene dos términos en el denominador y al menos uno de ellos es irracional, no puedes usar nada como eso para multiplicar las partes superior e inferior.

• Por ejemplo: 42 + 2 { displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}

• Não deu para entender? Escreva uma fração arbitrária 1a+b{displaystyle {frac {1}{a+b}}}

, na qual a{displaystyle a}

e b{displaystyle b}

são irracionais. Na sequência, a expressão (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2{displaystyle (a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}}

ou b{displaystyle b}

é irracional, então esse termo cruzado vai conter um radical.

do denominador depois disso.

Paso 2. Multiplica la fracción por el conjugado del denominador

El conjugado de una expresión equivale a la misma expresión, pero con el signo invertido. Por ejemplo: el conjugado de 2 + 2 { displaystyle 2 + { sqrt {2}}}

é 2−2{displaystyle 2-{sqrt {2}}}

• 42+2⋅2−22−2{displaystyle {frac {4}{2+{sqrt {2}}}}\cdot {frac {2-{sqrt {2}}}{2-{sqrt {2}}}}}
• Por que usar o conjugado dá certo? Se você multiplicar a fração arbitrária 1a+b{displaystyle {frac {1}{a+b}}}

pelo conjugado no numerador e no denominador, vai ter como resultado o denominador (a+b)(a−b)=a2−b2{displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}

. Nesse caso, o segredo é que não há termos cruzados. Como as duas partes estão em raiz quadrada, elas cortam uma à outra.

Paso 3. Simplifica los términos de las fracciones

Transforma la fracción en su versión más simple encontrando el factor común en el numerador y denominador. En este caso, 4 - 2 = 2 - que puede utilizar para cortar el valor inferior.

• 42 + 2⋅2−22−2 = 4 (2−2) 4−2 = 4−22 { displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac { 2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}

Método 3 de 4: Usando números inversos

Paso 1. Examine el problema

Si necesita escribir el inverso de un conjunto de términos que contiene un radical, comience por racionalizar antes de simplificar. Utilice este método en fracciones de denominadores mono o binomiales, según el problema en particular.

• Por ejemplo: 2−3 { displaystyle 2 - { sqrt {3}}}

Paso 2. Escriba el reverso normalmente

La inversa de un número corresponde solo a cambiar el numerador por el denominador. Usando el ejemplo anterior, la inversa sería 2−3 { displaystyle 2 - { sqrt {3}}}

(uma fração de um número dividido por 1).

• 12−3{displaystyle {frac {1}{2-{sqrt {3}}}}}

Paso 3. Multiplica los términos por algo que elimine el radical de la parte inferior

Recuerda que vas a multiplicar los términos por 1. Así que aplica esta operación al numerador y al denominador. Como el ejemplo anterior es binomial, simplemente multiplique las dos partes por el conjugado.

• 12−3⋅2 + 32 + 3 { displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2+ { sqrt {3}}}}}

Paso 4. Simplifica los términos de las fracciones

Haz la fracción en su versión más simple con la menor cantidad de números posible. En este ejemplo, 4 - 3 = 1 - por lo que puede quitar la parte inferior de una vez.

• 12−3⋅2 + 32 + 3 = 2 + 34−3 = 2 + 3 { displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}

• Não se assuste porque o inverso da fração é igual ao conjugado. É uma simples coincidência.

Método 4 de 4: Racionalizando denominadores com raiz cúbica

Paso 1. Examina la fracción

Aunque es algo raro, es posible que se encuentre con una raíz cúbica en el denominador. En ese caso, este método también generaliza las raíces de cualquier índice.

• Por ejemplo: 333 { displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}

Paso 2. Reescribe el denominador en términos de exponentes

Necesitas seguir un proceso ligeramente diferente para encontrar una expresión que te ayude a racionalizar el denominador aquí, ya que no puedes simplificar la expresión usando la raíz.

• 331/3 { Displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}

Paso 3. Multiplica las partes superior e inferior por un término que convierta el exponente del denominador en 1

En el ejemplo anterior, con la raíz cúbica, puedes multiplicar el valor por 32/332/3 { displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}

. Lembre-se de que os expoentes transformam qualquer problema de multiplicação em um problema de adição de acordo com a propriedade abac=ab+c{displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}}

• 331/3⋅32/332/3{displaystyle {frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}}
• Isso também serve para generalizar as enésimas raízes no denominador. Se você tivesse 1a1/n{displaystyle {frac {1}{a^{1/n}}}}

, poderia multiplicar as partes de cima e de baixo por a1−1n{displaystyle a^{1-{frac {1}{n}}}}

. Dessa forma, os expoentes se transformariam no denominador 1.

Paso 4. Simplifica los términos de las fracciones

• 331 / 3⋅32 / 332/3 = 32/3 { displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ { 2/3}}} = 3 ^ {2/3}}

• se você precisar escrever a expressão na forma radical, fatore o 1/3{displaystyle 1/3}
• 32/3=(32)1/3=93{displaystyle 3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={sqrt[{3}]{9}}}