En álgebra, los binomios son dos términos conectados por un signo más o menos, como ax + b { displaystyle ax + b}
. O primeiro termo sempre inclui uma variável, enquanto o segundo pode ou não a incluir. Fatorar um binômio significa encontrar termos mais simples que, quando multiplicados um pelo outro, produzem aquele número binômio, o que o ajuda a calculá-lo ou simplificá-lo.
Passos
Método 1 de 3: Fatorando números binômios
Paso 1. Repase los conceptos básicos de la factorización
Factorizar es "dividir" un gran número en sus partes divisibles más simples. Cada una de estas partes se denomina "factor". Por ejemplo, el número 6 se puede dividir en cuatro números diferentes: 1, 2, 3 y 6. Entonces, los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
- Los factores de 32 son 1, 2, 4, 8, 16 y 32
- Tanto el número "1" como el número a factorizar siempre serán factores. Entonces, los factores de un número pequeño como 3 son solo 1 y 3.
- Los factores son números perfectamente divisibles o números "enteros". Puede dividir 32 entre 3, 564 o 21, 4952, no dará lugar a un factor, solo a otro decimal.
Paso 2. Ordena los términos del binomio para que sea más fácil de leer
Un binomio no es más que la suma o resta de dos números, al menos uno de los cuales contiene una variable. A veces, estas variables tienen exponentes, como x2 { displaystyle x ^ {2}}
ou 5y4{displaystyle 5y^{4}}
. Ao fatorar um número binômios pela primeira vez, pode ser mais fácil reorganizar as equações com variáveis ascendentes, ou seja, o maior exponente ficando no final. Por exemplo:
- 3t+6{displaystyle 3t+6}
- 3x4+9x2{displaystyle 3x^{4}+9x^{2}}
- x2−2{displaystyle x^{2}-2}
→ 6+3t{displaystyle 6+3t}
→ 9x2+3x4{displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}
→ −2+x2{displaystyle -2+x^{2}}
Veja como o sinal de subtração permanece na frente do 2. Se um termo é subtraído, mantenha o sinal de negativo na frente dele
Paso 3. Encuentra el máximo factor común de ambos términos
En otras palabras, encuentre el mayor número posible por el que se puedan dividir ambas partes del binomio. Si tiene dificultades para encontrarlo, simplemente simplifique ambos números individualmente, luego observe el número más grande presente en las dos factorizaciones. Por ejemplo:
-
Problema práctico:
3t + 6 { displaystyle 3t + 6}
- Fatores de 3: 1, 3
- Fatores de 6: 1, 2, 3, 6.
- O maior fator comum é o 3.
Paso 4. Divide cada término por el máximo común divisor
Una vez que encuentre el factor, debe eliminarlo de cada término. Sin embargo, sepa que simplemente está "rompiendo" los términos, convirtiendo cada uno de ellos en un pequeño problema de división. Si hizo todo bien, ambas ecuaciones compartirán su factor:
-
Problema práctico:
3t + 6 { displaystyle 3t + 6}
-
Encontre o maior fator comum:
3
-
Remova o fator de ambos os termos:
3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}
Paso 5. Multiplica el factor por el resultado de la expresión para terminar
En el último problema, quitas el número 3 para obtener t + 2 { displaystyle t + 2}
. Porém, você não estava removendo o número 3 inteiramente; ele foi apenas fatorado para simplificar as coisas. Não se pode remover números sem colocá-los de volta depois! Multiplique seu fator pela expressão para finalmente terminar. Por exemplo:
-
Problema prático:
3t+6{displaystyle 3t+6}
-
Encontre o maior fator comum:
3
-
Remova o fator de ambos os termos:
3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}
-
Multiplique o fator pela nova expressão:
3(t+2){displaystyle 3(t+2)}
- Resposta final fatorada: 3(t+2){displaystyle 3(t+2)}
Paso 6. Verifique las cuentas multiplicando todos los números por la ecuación original
Si ha hecho todo bien, comprobar la respuesta debería ser fácil. Simplemente multiplique el factor por ambas partes individuales entre paréntesis. Si el resultado coincide con el número binomial original y no se factoriza, entonces ha hecho todo bien. De principio a fin, resuelve la expresión 12t + 18 { displaystyle 12t + 18}
para praticar:
-
Reorganize os termos:
18+12t{displaystyle 18+12t}
-
Encontre o maior denominador comum:
6{displaystyle 6}
-
Remova o fator de ambos os termos:
18t6+12t6=3+2t{displaystyle {frac {18t}{6}}+{frac {12t}{6}}=3+2t}
-
Multiplique o fator pela nova expressão:
6(3+2t){displaystyle 6(3+2t)}
-
Verifique a resposta:
(6∗3)+(6∗2t)=18+12t{displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}
Método 2 de 3: Fatorando binômios para resolver equações
Paso 1. Utilice la factorización para simplificar ecuaciones y facilitar la resolución
Al calcular una ecuación con números binomiales, especialmente los complejos, puede parecer que no hay solución. Por ejemplo, intenta calcular 5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
. Uma forma de resolver uma expressão, principalmente com exponentes, é fatorá-la antes:
-
Problema prático:
5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
- Lembre-se de que os números binômios devem ter apenas dois termos. Se houver mais do que dois termos, vai ser preciso aprender como calcular polinômios.
Paso 2. Suma y resta de modo que un lado de la ecuación sea igual a cero
Esta estrategia se basa en uno de los hechos más básicos de las matemáticas: cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. Entonces, si la ecuación es igual a cero, ¡entonces uno de los términos debe ser cero! Para empezar, haz que un lado sea igual a cero mediante la suma y la resta.
-
Problema práctico:
5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
-
Iguale a 0:
5y−2y2+3y=−3y+3y{displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}
- 8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}
Paso 3. Factoriza el lado opuesto a cero como lo harías normalmente
Ahora puedes fingir que el otro lado no existe por un paso. Simplemente encuentre el factor común más grande, divídalo y cree una expresión factorizada.
-
Problema práctico:
5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
-
Iguale a 0:
8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}
-
Fatore:
2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}
Paso 4. Haga coincidir el interior y el exterior del paréntesis con cero
En el problema práctico, estás multiplicando 2y por 4 - y, y eso debería ser igual a cero. Dado que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero, esto significa que 2y o 4 - y debe ser igual a 0. Cree dos ecuaciones separadas para ver qué "y" debe estar en cada lado para ser igual a cero.
-
Problema práctico:
5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
-
Iguale a 0:
8y−2y2+3y=0{displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}
-
Fatore:
2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}
- Iguale ambas as partes a 0:
- 2y=0{displaystyle 2y=0}
- 4−y=0{displaystyle 4-y=0}
Paso 5. Calcula ambos lados del cero para obtener la respuesta final (o respuestas)
Puede haber una o más respuestas. Recuerde: solo un lado debe ser igual a cero, por lo que puede obtener valores de "y" diferentes que resuelvan la misma ecuación. Hacia el final del problema práctico:
- 2y = 0 { Displaystyle 2y = 0}
- 2y2=02{displaystyle {frac {2y}{2}}={frac {0}{2}}}
- y = 0
- 4−y+y=0+y{displaystyle 4-y+y=0+y}
- y = 4
Paso 6. Sustituya los valores de respuesta para ver si funcionan
Si obtuviste los valores de "y" correctos, entonces puedes usarlos para resolver la ecuación. Esto es muy simple; simplemente reemplace cada valor "y" con la variable como se muestra a continuación. Como las respuestas fueron y = 0 e y = 4:
- 5 (0) −2 (0) 2 = −3 (0) { displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
- 0+0=0{displaystyle 0+0=0}
- 0=0{displaystyle 0=0}
Essa é a resposta correta
- 20−32=−12{displaystyle 20-32=-12}
- 0=0{displaystyle 0=0}
Essa resposta também está correta
Método 3 de 3: Lidando com problemas mais difíceis
Paso 1. Recuerda que las variables también cuentan como factores, incluso con exponentes
No olvide que la factorización no es más que encontrar los divisibles enteros de un número. La expresión x4 { displaystyle x ^ {4}}
é uma outra forma de representar x∗x∗x∗x{displaystyle x*x*x*x}
<p> se puede factorizar, ya que ambos términos contienen un">
ambos os termos contêm o mesmo x2{displaystyle x^{2}}
. Você pode fatorá-la para x2(1+x2){displaystyle x^{2}(1+x^{2})}
Paso 2. Reconocer números binomiales no simplificados agrupando términos similares
Por ejemplo, usa la expresión 6 + 2x + 14 + 3x { displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}
. Pode parecer que existem quatro termos, mas olhe atentamente e veja que na verdade só existem dois. É possível somar termos semelhantes, e como os números 6 e 14 não possuem variáveis, e os termos 2x e 3x possuem a mesma variável, eles podem ser agrupados. Agora, a fatoração fica fácil:
-
Problema original:
6+2x+14+3x{displaystyle 6+2x+14+3x}
-
Reorganize os termos:
2x+3x+14+6{displaystyle 2x+3x+14+6}
-
Agrupe os termos semelhantes:
5x+20{displaystyle 5x+20}
-
Encontre o maior fator comum:
5(x)+5(4){displaystyle 5(x)+5(4)}
-
Fatore:
5(x+4){displaystyle 5(x+4)}
Paso 3. Reconozca la "diferencia especial de raíces perfectas"
Una raíz perfecta es un número cuya raíz cuadrada es un número entero, como 9 { displaystyle 9}
(3∗3){displaystyle (3*3)}
, x2{displaystyle x^{2}}
(x∗x){displaystyle (x*x)}
ou até mesmo 144t2{displaystyle 144t^{2}}
(12t∗12t){displaystyle (12t*12t)}
Caso seu binômio seja um problema de subtração com duas raízes perfeitas, como a2−b2{displaystyle a^{2}-b^{2}}
, você pode simplesmente substituí-los na fórmula:
-
Fórmula da diferença de raízes perfeitas:
a2−b2=(a+b)(a−b){displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
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Problema prático:
4x2−9{displaystyle 4x^{2}-9}
- Calcule as raízes quadradas:
- 4x2=2x{displaystyle {sqrt {4x^{2}}}=2x}
- 9=3{displaystyle {sqrt {9}}=3}
Paso 4. Aprenda el desglose de la "diferencia de raíz cúbica perfecta"
Al igual que las raíces perfectas, esta es una fórmula simple de usar cuando se restan dos términos cúbicos entre sí. Por ejemplo, a3 − b3 { displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}
. Da mesma forma que antes, basta achar a raiz cúbica de cada termo e substituí-la na fórmula:
-
Fórmula da diferença dos cubos perfeitos:
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
-
Problema prático:
8x3−27{displaystyle 8x^{3}-27}
- Calcule as raízes cúbicas:
- 8x33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
- 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
Paso 5. Sepa que la suma de los cubos perfectos también encaja en una fórmula
A diferencia de los cuadrados perfectos, también es posible calcular la suma de raíces cúbicas, como a3 + b3 { displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}
, com uma fórmula simples. ela é quase igual à fórmula anterior, mas com os sinais de soma e subtração invertidos. a fórmula é tão fácil quanto as outras duas, e tudo o que você precisa fazer é reconhecer os dois cubos no problema para usá-los:
-
fórmula da soma dos cubos perfeitos:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2){displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
-
problema prático:
8x3−27{displaystyle 8x^{3}-27}
- calcule as raízes cúbicas:
- 8x33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
- 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
dicas
- nem todos os binômios possuem fatores comuns! alguns deles já aparecem em sua forma mais simples possível.
- caso não tenha certeza se existe um fator comum, divida pela menor parte. por exemplo, se você não reconhece que 16 é o fator comum entre 32 e 16, comece dividindo ambos os números por 2. você vai ficar com os números 16 e 8, que podem ser divididos por 8. agora, você tem os números 2 e 1, ou seja, os fatores menores. com certeza há algo maior do que 8 e 2 que seja um fator comum.
- saiba que a sexta potência (x6) é tanto um quadrado perfeito quanto um cubo perfeito. portanto, você pode aplicar ambas as formas especiais acima, em qualquer ordem, para um binômio que seja a diferença das sextas potências perfeitas, como x6 - 64. no entanto, pode ser muito mais fácil aplicar antes a fórmula dos quadrados perfeitos, para que você possa fatorar completamente o binômio.